導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用

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1、一、邊際分析邊際分析 第三三章 二、彈性分析彈性分析3.6.1 常用的經(jīng)濟函數(shù)常用的經(jīng)濟函數(shù)3.6.1 常用的經(jīng)濟函數(shù)常用的經(jīng)濟函數(shù)( )QQ p需求函數(shù):就是商品需求量與價格之間的函數(shù)關(guān)系。1. 需求函數(shù)需求函數(shù)常見的需求函數(shù)有以下幾種類型 (1) 線性需求函數(shù) (0,0);QabpabdQdQabpop(2) 二次需求函數(shù) 2Qabpcp(0,0,0);abcdQop2dQabpcp(3) 指數(shù)需求函數(shù) bpdQaedQop(0,0).bpQaeab一般來說，需求函數(shù)是價格的單調(diào)減少函數(shù).( )SS p供給函數(shù):就是商品供給量與價格之間的函數(shù)關(guān)系。需求函數(shù)的反函數(shù) 稱為價格函數(shù)。( )PP

2、 q2. 供給函數(shù)供給函數(shù)常見的供給函數(shù)有以下幾種類型 (1) 線性供給函數(shù) sQcdp sQop(2) 二次供給函數(shù)（略） sQop( ,0)asQkpa k(3) 冪供給函數(shù) (4) 指數(shù)供給函數(shù) sQop( ,0)bpsQaea b一般來說，供給函數(shù)是價格的單調(diào)增加函數(shù).( )QQ p需求函數(shù)( )SS p供給函數(shù)pQ均衡價格均衡量價格 p Qo供過于求供不于求3. 均衡點均衡點需求函數(shù) 2510p 供給函數(shù) 2005 ,Qp求均衡點。(,)(7,165)p Q解：由均衡條件QS得：2005 , p2510,Sp4. 成本函數(shù)成本函數(shù)FC(q)和變動成本(variable cost,VC

3、(q).固定成本包括設(shè)備的固定費用和其他管理費用；變動成本是隨銷售量或有形成本函數(shù)：一個企業(yè)的成本包括固定成本(fixed cost產(chǎn)量的變化而變化?？偝杀?固定成本+可變成本，即( )( )( ).C qFC qVC q平均成本函數(shù)( )( )C qC qq例例3.6.2 如果已知某產(chǎn)品的成本C是產(chǎn)量q的線性函數(shù)，而2000q 當(dāng)時，9000C ；當(dāng)4400q 時，12600C ，求出當(dāng)5600q 時的成本是多少？解：設(shè),Caqb則90002000,126004400,abab解之得：1.50,6000,ab所以1.56000,Cq5600q 將代入上式，得( )14100C q （元）實際

4、上，6000是固定成本，1.5q是可變成本。( )R qqp即收益=價格售出量，即利潤函數(shù)：利潤是一個企業(yè)所追求的主要目標(biāo)之一。利潤利潤L(q)是產(chǎn)量（或銷售量）的函數(shù)，利潤=收益-成本，( )( )( ).L qR qC q( )0L q 當(dāng)時，生產(chǎn)者盈利；( )0L q 當(dāng)時，生產(chǎn)者虧損；( )0L q 當(dāng)時，生產(chǎn)者盈虧平衡；( )0L q 使的點，稱為盈虧平衡點（又稱保本點）為100元，當(dāng)年產(chǎn)量超過800臺，超過的部分只能以9折的價格出售，這樣可以多出售200臺。再多生產(chǎn)，將無法出售。試寫出本年的收益函數(shù)。解解：( )R q,100q),(800q90100800，若800q0,2009

5、0100800.1000q 若，若1000q800),(800q9080000,980000例例3.6.5 設(shè)某產(chǎn)品的價格函數(shù)是60(10000),1000qpq其中p為價格（元），q為產(chǎn)品銷售量。又設(shè)產(chǎn)品的固定成本為6000元，變動成本為20元/件。求成本函數(shù)、收益解解：( )206000;C qq成本函數(shù)為收益函數(shù)( )R qqp260(10000);1000qqq利潤函數(shù)( )( )( )L qR qC q2601000qq(206000)q24060001000qq 函數(shù)和利潤函數(shù)。1.最大利潤問題最大利潤問題： 3.6.2.最大值與最小值在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用舉例最大值與最小值在經(jīng)濟問題

6、中的應(yīng)用舉例215( )10,R qqq總成本函數(shù)為 解：解：利潤函數(shù)為( )( )( )L qR qC q215850qq502Cq, 求產(chǎn)量為多少時總利潤最大. ( )L q258q25( )L q ( )0L q令，20q 得這是L(q) 唯一的駐點25(20)0,L 0y所以當(dāng) q = 20 時總利潤最大.最大利潤：2158 20205030(20)L小結(jié)小結(jié)：一般地，當(dāng)( )0L q時，即( )( )R qC q時，總利潤最大。200臺，市場調(diào)查指出，當(dāng)價格降低10元時，一周的銷售量可增加20臺。求出價格函數(shù)和銷售額函數(shù), 商店要達到最大銷售額，應(yīng)該把價格降低多少元 200臺，市場調(diào)

7、查指出，當(dāng)價格降低10元時，一周的銷售量解：解：設(shè)調(diào)價后每周能售出x臺，可增加20臺。求出價格函數(shù)和銷售額函數(shù), 商店要達到最大200,x而每多銷售一臺，則價格降低11020元，說明若價格降低所以(450)P12450450 225銷售額，應(yīng)該把價格降低多少元 則每周增加的銷售量為故價格函數(shù)為：10( )350(200)20P xx有唯一的極大值，即為最大值。1450,2x銷售額函數(shù)為：( )( )R xxP x21450,2xx求其最大值：( )0R x令，( )R x2450,x450(x 得臺),( )10,R x 350225125()元，銷售額可達到最大。2.最小成本問題最小成本問題

8、： 2( )1004qCC q求 當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最小。解解: 平均成本：( )( )C qC qq1004qq21001( ),4C qq3200( )Cqq( )0,C q令20q 得（只取正值）0y0y(20)0,C20.q時平均成本最小1. 邊際函數(shù)：邊際函數(shù)： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)()( )yf xxf xxxdyy( )yf x0limxyx稱為稱為f (x)在在 x 處的變化率。處的變化率。( )fx稱為稱為f (x)在在 平均變化率。平均變化率。( ,)x xx( )dfxx( )fx所以，邊際函數(shù)近似等于所以，邊際函數(shù)近似等于( ).fx當(dāng)當(dāng) 自變量自變量 從從 x 處改變一

9、個單位時，處改變一個單位時，y 相應(yīng)的改變量稱相應(yīng)的改變量稱為邊為邊際函數(shù)。此時，際函數(shù)。此時，實際上，經(jīng)常省略實際上，經(jīng)常省略“近似近似”。3.6.3 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用一一. 邊際分析邊際分析計劃生產(chǎn) q 件產(chǎn)品后再多生產(chǎn) 1 件產(chǎn)品, 成本的實際改變是: (1)( )C qC q0()( )( )limqC qqC qC qq(1)( )1C qC q(1)( )C qC q即: 產(chǎn)品數(shù)量為 q 時， 邊際成本邊際成本 增減一件產(chǎn)品時成本的實際改變增減一件產(chǎn)品時成本的實際改變 邊際成本: (或少)( )(1)C qC q(1)( )( )1C qC qC q(

10、)(1)C qC q( )1000530C qqq求生產(chǎn)100件和225件產(chǎn)品時的邊際成本. 解解:( )C q1000530qq5 1302 q155q15(100)5100C6.5 (/)元 件15(225)5225C6 (/)元 件 經(jīng)濟含義經(jīng)濟含義: 當(dāng)產(chǎn)量為 225 件時, 再增加 1 件產(chǎn)品, 總成本將增加 6 元左右。 經(jīng)濟含義經(jīng)濟含義: 當(dāng)產(chǎn)量為100件時, 再增加1件產(chǎn)品,總成本將增加 6 .5元左右。Rp q總收益：總收益： 邊際收益函數(shù)：邊際收益函數(shù)：( )R q在銷售了 q 件產(chǎn)品后再多（或少）銷售 1 件產(chǎn)品, 收益的實際改變是: (1)( )R qR q邊際收益:

11、( )(1)R qR q(1)( )( )1R qR qR q( )(1)R qR q0()( )( )limqR qqR qR qq(1)( )1R qR q(1)( )R qR q含義含義: 產(chǎn)品數(shù)量為 q 時， 邊際收益 多(或少)售一件產(chǎn)品時收益的增加(或減少)量1005 ,qp其中 p 為單價, 求邊際收益函數(shù)及 q = 20,50,70 時的邊際收益，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。解：解：產(chǎn)品單價為 15(100)pq總收益函數(shù)為( )R qq p15(100)qq邊際收益函數(shù)：15( )(1002 )R qq15(20)(100220)R 1215(50)(1002 50)R 08

12、215(100)qq15(70)(1002 70)R q = 20時, 再多售一件產(chǎn)品總收益將增加12個單位q = 50時, 再多售一件產(chǎn)品總收益不會增加q = 70時, 再多售一件產(chǎn)品總收益反而減少7個單位設(shè) q 為商品售出量, ( )CC q總成本函數(shù)： 利潤函數(shù)：利潤函數(shù)：( )( )R qC q( )L q( )RR q總收益函數(shù)： L = 總收益 總成本邊際利潤：邊際利潤：( )L q邊際利潤的含義邊際利潤的含義: 銷售量為 q 時， 邊際利潤 再多售一件產(chǎn)品時利潤的增加量(少售)(減少量)二二. 彈性分析彈性分析 定義定義3.6.1 設(shè)函數(shù)()( )( )yf xxf xyf xx

13、xxx( )yf x稱為稱為f (x)在在 x 處的彈性（相對變化率）。處的彈性（相對變化率）。1. 函數(shù)彈性的概念函數(shù)彈性的概念 邊際函數(shù)是指函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率，而函數(shù)邊際函數(shù)是指函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率，而函數(shù)的彈性是指相對改變量與相對變化率。的彈性是指相對改變量與相對變化率?？蓪?dǎo)，稱為稱為f (x)在在 和和 之間的彈性之間的彈性(平均相對變化率平均相對變化率)。xxx0limyyxxx( )Ef xEx0limyyxxxEyEx0limxy xxy.xyy記為2. 需求彈性需求彈性設(shè)需求函數(shù)為設(shè)需求函數(shù)為P為產(chǎn)品的價格,( )P0limddQQPPP0limdPdQPPQ

14、( ).( )fPPf P( ),dQf P當(dāng) 很小時，有P故需求彈性 近似地表示當(dāng)價格為P時，價格變動1%，需求量將近似地變動 %。所以需求彈性反映了需求量對價格變動反映的靈敏度。一般地，因為需求函數(shù)為單減函數(shù)，故需求彈性為負值。該函數(shù)在P點可導(dǎo)，則該產(chǎn)品在價格為P時的需求彈性：.PPQQdd例例3.6.11 設(shè)某種商品的需求量設(shè)某種商品的需求量Q與價格與價格P的關(guān)系為的關(guān)系為(1)求需求彈性 ；( )( )fPPf P(2)當(dāng)商品的價格為10元時，再提高1%，求商品需求量的變化情況。解解 (1)需求彈性為,)41(1600)(PPQ)(P)(PPPP)41(1600)41(1600(PPP

15、)41(160041ln)41(1600P2ln2.39. 1P需求彈性為負，說明價格P提高1%時，需求量減少 %。(2)當(dāng)價格為10元時，)10(1039. 19 .13說明當(dāng)價格為10元時，價格提高1%時，需求量減少13.9 %.價格降低1%時，需求量增加13.9 %.3. 供給彈性：與需求彈性的定義類似。供給彈性：與需求彈性的定義類似。設(shè)供給函數(shù)為設(shè)供給函數(shù)為P為產(chǎn)品的價格,( )P0limssQQPPP0limsPsQPPQ( ).( )PPP( ),sQP該函數(shù)在P點可為P時的供給彈性：所以供給彈性反映了供給量對價格變動反映的靈敏度。一般地，因為供給函數(shù)為單增函數(shù)，故供給彈性為正值。

16、導(dǎo)，則該產(chǎn)品在價格當(dāng) 很小時，有P故供給彈性 近似地表示當(dāng)價格為P時，價格變動1%，供給量將近似地變動 %。.PPQQss4. 總收益彈性總收益彈性因為因為該函數(shù)對P求導(dǎo)，得QPR),(PfPR)()(PfPPf)()(1)(PfPfPPf)1)(PfEPERPPRRP0limPRRPP0limRRPRPfP)1)(RR)1 (1總收益彈性例例3.6.12 設(shè)某種商品的需求函數(shù)為設(shè)某種商品的需求函數(shù)為(1)求當(dāng)P=4時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義。( )( )fPPf P解解 (1)當(dāng)P=4時的邊際需求為,75)(2PPQ)(P)4(說明當(dāng)P=4時，價格提高1%時，需求量減少0.54 %.42

17、)4(PPQ; 8說明當(dāng)價格P=4時，價格提高1個單位，需求量減少8個(2)求當(dāng)P=4時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義。2275)75(PPP,75222PP2247542,54. 0單位。(3)求當(dāng)P=4時，若價格上漲1%，總收益將變化百分之幾。是增加還是減少？（需求函數(shù)為)75)(2PPQ4PEPER)4(146. 0當(dāng)P=4時，若價格上漲1%，總收益將增加0.46%。(4)求當(dāng)P=6時，若價格上漲1%，總收益將變化百分之幾。是增加還是減少？（需求函數(shù)為)75)(2PPQ由(3)的分析EPER16PEPER)6(185. 0當(dāng)P=6時，若價格上漲1%，總收益將減少0.85%。62275)75(1PPPP6227521PPP作 業(yè)P160 3，4，6，7