三角函數(shù)公式大全

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1、 三角函數(shù)公式大全 三角函數(shù)定義 　 銳角三角函數(shù) 任意角三角函數(shù) 圖形 　　 直角三角形 任意角三角函數(shù) 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函數(shù)關(guān)系 倒數(shù)關(guān)系：?? ?? 商數(shù)關(guān)系：?? ?? 平方關(guān)系：??? ? ? ． 誘導(dǎo)公式 公式一：設(shè)?為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： 公式二：設(shè)??為任意角，?與?的三角函數(shù)值

2、之間的關(guān)系： 公式三：任意角??與??的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 公式四：??與?的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 公式五：??與?的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 公式六：??及??與??的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限．即形如（2k+1）90°±α，則函數(shù)名稱變?yōu)橛嗝瘮?shù)，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。形如2k×90°±α，則函數(shù)名稱不變。 誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”意義： k×π/2±a(k∈z)的三角函數(shù)值．(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，等于α的

3、同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)； 　　(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，等于α的異名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)。 記憶方法一：奇變偶不變，符號(hào)看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍數(shù)，變余不變?cè)囍迫呛瘮?shù)的名稱變化若變，則是正弦變余弦，正切變余切------------------奇變偶不變 根據(jù)教的范圍以及三角函數(shù)在哪個(gè)象限的爭鋒，來判斷三角函數(shù)的符號(hào)-------------符號(hào)看象限 記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角． 　　 以誘導(dǎo)公式二為例： 若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π十α是第三象限的角（終

4、邊在第三象限），正弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，余弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，正切函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是正值．這樣，就得到了誘導(dǎo)公式二． 　　以誘導(dǎo)公式四為例： 若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是正值，余弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值，正切函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值．這樣，就得到了誘導(dǎo)公式四． 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟： 　　 特別提醒：三角函數(shù)化簡與求值時(shí)需要的知識(shí)儲(chǔ)備：①熟記特殊角的三角函數(shù)值；②注意誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用；③三角函數(shù)化簡的要求是項(xiàng)數(shù)要最少

5、，次數(shù)要最低，函數(shù)名最少，分母能最簡，易求值最好。 基本公式 和差角公式 二角和差公式 證明如圖，負(fù)號(hào)的情況只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推導(dǎo)只需把角α對(duì)邊設(shè)為1，過程與tan(α+β)相同． 三角和公式 和差化積 口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩，正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦． 積化和差 倍角公式 二倍角公式 三倍角公式 證明： sin3a =si

6、n(a+2a) =sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos^2acosa-sin^2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a =3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin

7、[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-

8、(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述兩式相比可得： tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a) 四倍角公式 sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4) 五倍角公式 n倍角公式 應(yīng)用歐拉公式： ?? . 上式用于求n倍角的三角函數(shù)時(shí)，

9、可變形為： 所以， 其中，Re表示取實(shí)數(shù)部分，Im表示取虛數(shù)部分．而 所以， n倍角的三角函數(shù) 半角公式 （正負(fù)由??所在的象限決定） 萬能公式 輔助角公式 ? ． 證明： 由于?? ，顯然??，且 故有： 三角形定理 正弦定理 在任意△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R．則有： 正弦定理變形可得： 余弦定理 同理，也可描述為： 勾股定理是余弦定理的特例。 當(dāng)??為??時(shí)，??，余弦定理可簡化為 ??，即勾股定理。