概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(ppt 21頁(yè))

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分概率論部分1平德第第 頁(yè)頁(yè)5.條件概率(一一)條件概率條件概率:設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S,A,B是事件是事件,要考慮要考慮在在A已經(jīng)發(fā)生的條件下已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率發(fā)生的概率,這就是條件概這就是條件概率問(wèn)題率問(wèn)題.例例1.將一枚硬幣擲兩次將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)設(shè) A“至少有一次正面至少有一次正面”,B“兩次擲出同一面兩次擲出同一面”求:求:A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率發(fā)生的概率.1.定義定義:設(shè)設(shè)A,B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件,且且P(A)0,稱(chēng)稱(chēng)

2、P(A)P(AB)A)|P(B 為在事件為在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率.2平德第第 頁(yè)頁(yè)2.性質(zhì)性質(zhì):條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件,即即0.A)|P(B1 B,10 有有對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)事事件件1.A)|P(S 20.A)|P(B)A|BP(,B,B 31ii1ii210 則則兩兩互不相容兩兩互不相容設(shè)設(shè)此外此外,條件概率具有無(wú)條件概率類(lèi)似性質(zhì)條件概率具有無(wú)條件概率類(lèi)似性質(zhì).例如:例如:0.A)|P(1)則則兩兩兩兩互互不不相相容容,B,B,B (2)n21設(shè).A)|P(BA)|BP(n1iin1ii 3平德第第

3、 頁(yè)頁(yè)).A|B(P1)A|BP(3)A).|P(BC-A)|P(C A)|P(BA)|CP(B (4)當(dāng)當(dāng)AS時(shí)時(shí),P(BS)=P(B),條件概率化為無(wú)條件概率化為無(wú)條件概率條件概率,因此無(wú)條件概率可看成條件概率因此無(wú)條件概率可看成條件概率.計(jì)算條件概率有兩種方法計(jì)算條件概率有兩種方法:然然后后按按公公式式計(jì)計(jì)算算先先計(jì)計(jì)算算 P(AB),P(A),.P(A)P(AB)A)|P(B 1.公式法:公式法:4平德第第 頁(yè)頁(yè)2.縮減樣本空間法:縮減樣本空間法:在在A發(fā)生的前提下發(fā)生的前提下,確定確定B的縮減樣本空間的縮減樣本空間,并并在其中計(jì)算工在其中計(jì)算工B發(fā)生的概率發(fā)生的概率,從而得到從而得到

4、P(B|A).例例2.在在1,2,3,4,5這這5個(gè)數(shù)碼中個(gè)數(shù)碼中,每次取一個(gè)每次取一個(gè)數(shù)碼數(shù)碼,取后不放回取后不放回,連取兩次連取兩次,求在第求在第1次取到偶數(shù)的條次取到偶數(shù)的條件下件下,第第2次取到奇數(shù)的概率次取到奇數(shù)的概率.例例3.3只一等品只一等品2只二等品只二等品任取一只任取一只,不放回不放回再任取一只再任取一只A第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品B 第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品,求求P(B|A).5平德第第 頁(yè)頁(yè)(二二)乘法定理乘法定理:A).|P(A)P(BP(AB)0,P(A),則則有有立立即即可可得得由由條條件件概概率率定定義義P(AB)0,則有則有 P(A

5、BC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般一般,設(shè)設(shè)A1,A2,An是是n個(gè)事件個(gè)事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,則有則有乘法公式乘法公式:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).6平德第第 頁(yè)頁(yè)r只紅球只紅球t只白球只白球例例4.每次任取一只球觀每次任取一只球觀察顏色后察顏色后,放回放回,再再放回放回a只同色球只同色球在袋中連續(xù)取球在袋中連續(xù)取球4次次,試求第一、二次取到紅球且試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率第三、四次取到白球的概率.例例5.透鏡第一次落下打破的概率為透鏡第一次落下打破的概率

6、為0.5,若第一次若第一次落下未打破落下未打破,第二次落下打破的概率為獲第二次落下打破的概率為獲0.7,若若前兩次落下未打破前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率試求透鏡落下三次而未打破的概率.7平德第第 頁(yè)頁(yè)(三三)全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分樣本空間的劃分:B,B,B :n21一一組組事事件件滿滿足足若若定定義義n,.,2,1,j i,j,i ,BB (i)ji ,SB(ii)n1ii .SB,B,Bn21的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分本本空空間間為為樣樣則則稱(chēng)稱(chēng)SB1B2B3.Bn(1)若若B1,B2

7、,Bn是樣本空間是樣本空間S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分,則每次試驗(yàn)中則每次試驗(yàn)中,事件事件B1,B2,Bn 中必有一中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.BB,B,B ,SB,B,2n )2(212121 即即對(duì)對(duì)立立事事件件為為則則的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)8平德第第 頁(yè)頁(yè)2.全概率公式全概率公式:則則的事件的事件為為的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為為設(shè)設(shè),EA n),2,1,(i0,)P(B,SB,B,Bin21 n1iii)B|)P(AP(BP(A)稱(chēng)為全概率公式稱(chēng)為全概率公式.3.貝葉斯公式貝葉斯公式:n.,2,1,i,)B|)P(AP(B)B|)P(AP(BA)|P(B,0)(0,)P(B

8、,.,n1jjjiiii21 則則有有是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件且且且且的的下下個(gè)個(gè)劃劃分分是是樣樣本本空空間間設(shè)設(shè)APASBBBn9平德第第 頁(yè)頁(yè)利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的利用全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)劃分關(guān)鍵是找出樣本空間的一個(gè)劃分,即完備即完備事件組事件組B1,Bn.其要點(diǎn)為:其要點(diǎn)為:(1)事件事件A必須伴隨著必須伴隨著n個(gè)互不相容的事件個(gè)互不相容的事件B1,B2,.,Bn之一發(fā)生之一發(fā)生,求求A的概率就可用全概率公式的概率就可用全概率公式計(jì)算計(jì)算.(2)如果我們已知事件如果我們已知事件A發(fā)生了發(fā)生了,求事件求事件Bi(i=1,2,n)的概率的

9、概率,則用貝葉斯公式則用貝葉斯公式.即用貝葉斯公式即用貝葉斯公式所計(jì)算的是條件概率所計(jì)算的是條件概率P(Bi|A),i=1,2,n.10平德第第 頁(yè)頁(yè)例例1只紅球只紅球4只白球只白球2只紅球只紅球3只白球只白球3只紅球只紅球132現(xiàn)從任意一箱中任取一球,求取得紅球的概率。現(xiàn)從任意一箱中任取一球,求取得紅球的概率。11平德第第 頁(yè)頁(yè)例例7.某商店出售玻璃杯某商店出售玻璃杯,每箱每箱20只。假設(shè)其中各箱中只。假設(shè)其中各箱中有有0,1,2只次品的概率依次為只次品的概率依次為0.8,0.1,0.1,一顧客一顧客欲購(gòu)買(mǎi)一箱玻璃杯,在購(gòu)買(mǎi)時(shí)售貨員隨機(jī)取一箱,欲購(gòu)買(mǎi)一箱玻璃杯,在購(gòu)買(mǎi)時(shí)售貨員隨機(jī)取一箱,顧客

10、隨機(jī)查看顧客隨機(jī)查看4只,若無(wú)次品便買(mǎi)下否則退回只,若無(wú)次品便買(mǎi)下否則退回,試求試求:(1)顧客買(mǎi)下玻璃杯的概率顧客買(mǎi)下玻璃杯的概率 (2)顧客買(mǎi)下的這箱杯子中確實(shí)無(wú)次品的概率,顧客買(mǎi)下的這箱杯子中確實(shí)無(wú)次品的概率,12平德第第 頁(yè)頁(yè)1.6 1.6 獨(dú)立性獨(dú)立性設(shè)設(shè)A,B是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的兩事件的兩事件,當(dāng)當(dāng)P(A)0,可以定義可以定義P(B|A).P(A)P(AB)A)|P(B 一般地一般地,P(B|A)P(B),但當(dāng)?shù)?dāng)A的發(fā)生對(duì)的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生的概的發(fā)生的概率沒(méi)有影響時(shí)率沒(méi)有影響時(shí),有有P(B|A)=P(B),由乘法公式有由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).1

11、.定義定義:設(shè)設(shè)A,B是兩事件是兩事件,如果滿足等式如果滿足等式 P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件A與事件與事件B是相互獨(dú)立的事件是相互獨(dú)立的事件.13平德第第 頁(yè)頁(yè)由定義可知由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的零概率事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.2)由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性,A,B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,必有必有B,A 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.2.定義推廣定義推廣:設(shè)設(shè)A1,A2,An是任意的是任意的1ij n有有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱(chēng)這則稱(chēng)這n個(gè)事件個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立.如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的k(kn),任意的任意的1i1i20,則則A,B相互獨(dú)

12、立相互獨(dú)立 的充要條件是的充要條件是:P(B|A)=P(B).BA B,A,BBA,(1)相相互互獨(dú)獨(dú)立立也也與與與與與與則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若A,有關(guān)結(jié)論有關(guān)結(jié)論:.B A,B A,0,P(B)0,P(A)2(不相容不能同時(shí)成立不相容不能同時(shí)成立互互相互獨(dú)立與相互獨(dú)立與則則 15平德第第 頁(yè)頁(yè)三三.利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率利用獨(dú)立性計(jì)算古典概率:1.計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率:計(jì)算相互獨(dú)立的積事件的概率:若已知若已知n個(gè)事件個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立,則相互獨(dú)立,則 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2.計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率:計(jì)算相互獨(dú)立事件的和的概率:若已知若已知

13、n個(gè)事件個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立,則相互獨(dú)立,則)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP 例例1.兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈兩架飛機(jī)依次輪番對(duì)同一目標(biāo)投彈,每次投每次投下一顆炸彈下一顆炸彈,每架飛機(jī)各帶每架飛機(jī)各帶3顆炸彈顆炸彈,第第1架扔一架扔一顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為顆炸彈擊中目標(biāo)的概率為0.3,第第2架的概率為架的概率為0.4,求炸彈未完全耗盡而求炸彈未完全耗盡而擊中目標(biāo)的概率。擊中目標(biāo)的概率。(續(xù)續(xù))古典概型概率的間接計(jì)算古典概型概率的間接計(jì)算:16平德第第 頁(yè)頁(yè)例例2.設(shè)有設(shè)有8個(gè)元件個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能元件能正常工作的概率正常

14、工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng)按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.A1 B1 A2 B2 B3 B4 A3 A4系統(tǒng)二系統(tǒng)二:先并聯(lián)后串聯(lián)先并聯(lián)后串聯(lián)系統(tǒng)一系統(tǒng)一:先串聯(lián)后并聯(lián)先串聯(lián)后并聯(lián)A1B1A2B2A3B3A4B417平德第第 頁(yè)頁(yè)例例3.100件樂(lè)器件樂(lè)器,驗(yàn)收方案是從中任驗(yàn)收方案是從中任 取取3件測(cè)試件測(cè)試(相相互獨(dú)立的互獨(dú)立的),3件測(cè)試后都認(rèn)為音色純則接收這批件測(cè)試后都認(rèn)為音色純則接收這批樂(lè)器樂(lè)器,測(cè)試情況如下測(cè)試情況如下:經(jīng)測(cè)試認(rèn)為音色純經(jīng)測(cè)試認(rèn)為音色純 認(rèn)為音色不純認(rèn)為音色不純樂(lè)器音色純樂(lè)器音色純 0.99 0.01樂(lè)器音色不純樂(lè)器音色

15、不純 0.05 0.95若若100件樂(lè)器中恰有件樂(lè)器中恰有4件音色不純件音色不純,試問(wèn)試問(wèn):這批樂(lè)器被接收的概率是多少這批樂(lè)器被接收的概率是多少?18平德第第 頁(yè)頁(yè)第一章第一章 習(xí)題課習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容:樣本空間樣本空間隨機(jī)事件隨機(jī)事件概率定義及性質(zhì)概率定義及性質(zhì)古典概型古典概型條件概率條件概率全概率公式全概率公式Bayes公式公式 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性19平德第第 頁(yè)頁(yè)二、課堂練習(xí)二、課堂練習(xí):1.選擇題選擇題:(1)當(dāng)事件當(dāng)事件A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生,事件事件C必發(fā)生必發(fā)生,則有則有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(AB)(C)P(C)P(A)+P(B)-

16、1 (D)P(C)P(A)+P(B)-1P(A)P(B)P(AB)(D)P(A)P(B)P(AB)(C)B)|AP(B)|P(A(B)B|AP(B)|P(A(A)(),A|P(BA)|P(B0,P(B)1,P(A)0(2)則必有則必有設(shè)設(shè)20平德第第 頁(yè)頁(yè)2.填空題:填空題:.B)|P(A,)BAP(0.5,P(B)0.1,P(A)B,A(1)則 設(shè)(2)設(shè)兩個(gè)事件設(shè)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,A,B都不發(fā)生的概率都不發(fā)生的概率為為1/9,A發(fā)生而發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率與B發(fā)生而發(fā)生而A不發(fā)生不發(fā)生的概率相等的概率相等,則則P(A)=_.)BP(A,B A,)B|P(A,B A,1),ba,(0b,P(B)a,P(A),BA,)3(則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若則則互不相容互不相容若若為兩事件為兩事件設(shè)設(shè)3.計(jì)算題:計(jì)算題:課本的課本的13題,題,35題,題,36題題.21

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