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1、5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 5.3 小結(jié),第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律,討論 “概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義； 給出幾種大數(shù)定律： 伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、 馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.,常用的幾個大數(shù)定律,大數(shù)定律一般形式：,若隨機變量序列Xn滿足：,則稱Xn 服從大數(shù)定律.,切比雪夫大數(shù)定律,定理5.1.1,Xn兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共同的上界，則 Xn服從大數(shù)定律.,證明用到切比雪夫不等式.,依概率收斂,定義5.1.1 (依概率收斂),大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.,若對任意的 0，有,則稱隨機變量序列Yn依概率收斂于Y,
2、記為,依概率收斂的性質(zhì),定理5.1.2 若,則Xn與Yn的加、減、乘、除 依概率收斂到 a 與 b 的加、減、乘、除.,依概率收斂（續(xù)）,推論5.1.3 (多變量函數(shù)),設(shè),g(x,y)在點(a,b)連續(xù)，則,，,，又設(shè)函數(shù),伯努利大數(shù)定律,定理5.1.4（伯努利大數(shù)定律）,設(shè) n 是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中 P(A) = p, 則對任意的 0，有,馬爾可夫大數(shù)定律,定理5.1.5,若隨機變量序列Xn滿足：,則 Xn服從大數(shù)定律.,(馬爾可夫條件),辛欽大數(shù)定律,定理5.1.6,若隨機變量序列Xn獨立同分布，且Xn的數(shù)學期望存在，則 Xn服從大數(shù)定律.,(1) 伯努利大
3、數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.,注 意 點,(2) 切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.,(3) 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.,5.2 中心極限定理,討論獨立隨機變量和的極限分布, 本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布.,5.2.1 獨立隨機變量和,設(shè) Xn 為獨立隨機變量序列，記其和為,5.2.2 獨立同分布的中心極限定理,定理5.2.1 林德貝格勒維中心極限定理,設(shè) Xn 為獨立同分布隨機變量序列，數(shù)學期望為, 方差為 20，則當 n 充分大時，有,應用之例: 正態(tài)隨機數(shù)的產(chǎn)生； 誤差分析,林德貝格勒維中心極限定理的推論,例5.2.1 每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為 100克，
4、標準差為10克. 一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?,解:,設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心極限定理得，所求概率為：,= 0.0002,故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002. (很小),例5.2.2 設(shè) X 為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為,求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.,解: 設(shè) Xi 為第 i 次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi 獨立同分布，,且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故,= 0.00021,,5.2.3 二項分布
5、的正態(tài)近似,定理5.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,設(shè)n 為服從二項分布 b(n, p) 的隨機變量，則當 n 充分大時，有,是林德貝格勒維中心極限定理的特例.,二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布， 所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似時，可作 如下修正：,注 意 點 (1),中心極限定理的應用有三大類：,注 意 點 (2),ii) 已知 n 和概率，求x ；,iii) 已知 x 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 x，求概率；,一、給定 n 和 x，求概率,例5.2.3 100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個部件工作的概率.,解：用,由此得：
6、,Xi=1表示第i個部件正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2++X100，則 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、給定 n 和概率，求 x,例5.2.4 有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機床， 每臺機床工作時需15kw電力. 問共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?,解：用,設(shè)供電量為x, 則從,Xi=1表示第i臺機床正常工作, 反之記為Xi=0.,又記X=X1+X2++X200，則 E(X)=140，Var(X)=42.,中解得,三、給定 x 和概率，求 n,例5.2.5 用調(diào)查對象中的收看比例 k/n 作為某電視節(jié) 目的收視率 p 的估計
7、。 要有 90 的把握，使k/n與p 的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對象？,解：用,根據(jù)題意,Xn表示n 個調(diào)查對象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則,從中解得,Xn 服從 b(n, p) 分布，k 為Xn的實際取值。,又由,可解得,n = 271,例5.2.6 設(shè)每顆炮彈命中目標的概率為0.01， 求500發(fā)炮彈中命中 5 發(fā)的概率.,解: 設(shè) X 表示命中的炮彈數(shù), 則,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 應用正態(tài)逼近:,P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5),= 0.1742,,5.2.4 獨立不同分布下的中心極限定理,定理5.2.3 林德貝格中心極限定
8、理,設(shè)Xn 為獨立隨機變量序列，若任對 0，有,林德貝格條件,則,李雅普諾夫中心極限定理,定理5.2.4 李雅普諾夫中心極限定理,設(shè)Xn 為獨立隨機變量序列，若存在 0，滿足：,李雅普諾夫條件,則,林德貝格條件較難驗證.,例5.2.7 設(shè) X1, X2 , . , X99相互獨立, 且服從不同的 0--1分布,試求,解: 設(shè) X100, X101, .相互獨立, 且與X99同分布,,則可以驗證Xn滿足 =1的李雅普諾夫條件，且,,由此得,5.3 小結(jié),基本概念： 依概率收斂、契比雪夫大數(shù)定理、伯努利大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定理、獨立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理； 基本概念： 中心極限定理的應用；,2, 5, 8,作 業(yè),
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