《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件：高等數(shù)學(xué)下學(xué)期

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1、高等高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 第二學(xué)期第二學(xué)期u 第四章第四章 不定積分不定積分u 第五章第五章 定積分及應(yīng)用定積分及應(yīng)用u 第六章第六章 微分方程微分方程積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、第四章一、第四章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容1 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如如果果在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf，即即Ix ，都都 有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函數(shù)數(shù))

2、(xF就就稱稱為為)(xf或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù))(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF .即：即：2 2、不定積分、不定積分(1)定義定義 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為的原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.dxxg

3、xf)()(10 dxxgdxxf)()(2)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)()()df x dxf xdx()()df x dxf x dx()()F x dxF xC()()dF xF xC3 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx(3)lndxxCx dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)1

4、0(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx s

5、h)14(xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定理定理 1 設(shè)設(shè))(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，)(xu 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式 dxxxf)()()()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan.72xdxxf;1)

6、(arctan.82dxxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定理定理 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且且0)(t，又設(shè)，又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，則有換元公式則有換元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(.1Rbatx .sin,)(.222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.tx.13令令倒置代換倒置代換4 4、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 5.5.選擇選擇u

7、 u的有效方法的有效方法:LIATELIATE選擇法選擇法L-對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；哪哪個(gè)在前哪個(gè)選作個(gè)在前哪個(gè)選作u.6 6、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)的積分定義定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負(fù)整數(shù)；都是非負(fù)整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實(shí)數(shù)，并且都是實(shí)數(shù)，并且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的真

8、分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2）三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR（3）簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào);necxbaxt 令令;nbaxt 令令例例

9、1 1解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)ln(1(121222dxxxx1)1ln(21222 二、典型例題二、典型例題例例2 2解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx C.23)ln(123)ln(1(1arctan212222xxxxxxx例例3 3解解 dxxf

10、xfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計(jì)算法計(jì)算法牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 二、第五章二、第五章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容1 1、問題的提出、問題的提出實(shí)例實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的

11、面積A）iniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)(xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.實(shí)例實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）iniitvs )(lim10 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)(tv，求，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 S.方法方法:分割、求和、取極限分割、求和、取極限.2 2、定積分的定義、定積分的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上有界，上有界，在

12、在,ba中任意中任意若干若干個(gè)分點(diǎn)若干若干個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，),2,1(i，在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)一點(diǎn)i（iix ），），定義定義,12110nnxxxxxx 怎怎樣樣的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和S總總趨趨于于確定的極限確定的極限I，在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，記為記為記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba我們稱這

13、個(gè)極限我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)為函數(shù))(xf作作乘乘積積iixf)(),2,1(i點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣并作和并作和iinixfS )(1，可積的兩個(gè)可積的兩個(gè)條件：條件：當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1定理定理2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積.3 3、存在定理、存在定理4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()(k為常數(shù)為

14、常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 則則0)(dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)(xf，推論：推論：則則dxxfba)(dxxgba )()(ba 如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，使使dxxfba)()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及

15、及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，積分中值公式積分中值公式5 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba

16、上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個(gè)原函數(shù)，則上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于上的定積分等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明表明baba6 6、定積分的計(jì)算法、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式

17、bababavduuvudv、廣義積分、廣義積分(1)無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 adxxf)(babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分時(shí)，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散.bdxxf)(baadxxf)(lim(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分 badxxf)(badxxf )(lim0當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分時(shí)，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散.badxxf)(badxxf)(lim0 badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(

18、lim0 bcdxxf )(lim0例例1 1解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln26 2626sinsintdttdt.23)32ln(二、典型例題二、典型例題例例2 2.)1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln2123ln23例例3 3.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù),dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx.2ln232