實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理第二部分

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 方差分析,3.1,數(shù)據(jù)處理的概念和意義,數(shù)據(jù)處理主要研究實驗測量或觀察數(shù)據(jù)分析計算的處理方法，從而得出可靠或規(guī)律性的結(jié)果。依據(jù)這個規(guī)律和結(jié)果對工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、天氣、地震等進(jìn)行預(yù)報和控制，從而掌握和主宰客觀事物的發(fā)展規(guī)律，使之服從和服務(wù)于人類。,數(shù)據(jù)處理的方法很多，如參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析和回歸分析等。,3.2,方差分析的概述,方差分析,(Analysis of Variance),由英國統(tǒng)計學(xué)家,首創(chuàng),

2、，為紀(jì)念,Fisher,，,以,F,命名，故方差分析又稱,F,檢驗。,3.2.1,方差分析的概念和意義,方差分析的中心點,是把實驗觀測數(shù)據(jù)總的波動分解為反映因素水平變化引起的波動和反映實驗誤差引起的波動兩部分。,方差分析亦即把實驗觀測數(shù)據(jù)的總的偏差平方和（,S,T,）分解為反映必然性的各個因素的偏差平方和（,S,A,、,S,B,、,、,S,N,）與反映偶然性的誤差偏差平方和（,S,e,），并計算比較它們的平均偏差平方和，以找出對實驗觀測數(shù)據(jù)起決定性影響的因素作為進(jìn)行定量分析判斷的依據(jù)。,方差分析能把實驗過程中實驗條件改變所引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動區(qū)分開，同時對影響實驗結(jié)果的各因素

3、的重要程度給以精確的數(shù)量估計。,方差分析類型很多，概括起來有以下幾種：,（,1,）單因素實驗的方差分析,（,2,）多因素實驗的方差分析,（,3,）正交實驗設(shè)計的方差分析,（,4,）,SN,比實驗設(shè)計法,3.2.2,單因素實驗的方差分析,在一項實驗中，若只有一個因素的水平在改變，而其他因素的水平固定不變，這就叫做,單因素實驗,。,3.2.2.1,方差分析的基本思想,例,3.1,考察生產(chǎn)某化工產(chǎn)品時反應(yīng)溫度,A,（）對收率,y,（）的影響。為此，比較兩個反應(yīng)溫度,A,1,30,，,A,2,40,。,1,2,3,4,5,平均值,A,1,（,30,）,75,78,60,61,83,71.4,A,2,（

4、,40,）,89,62,93,71,85,80.0,實驗號,水平,表,3.1,某化工產(chǎn)品收率實驗數(shù)據(jù)表,條件誤差：,由于實驗條件的不同而引起的差異叫,“,條件誤差,”,。,實驗誤差：,即同一條件（同水平）下，存在偶然因素而引起的差異叫,“,實驗誤差,”,，即,“,隨機(jī)誤差,”,。,為了考察某個因素對指標(biāo)的作用，必須將,總誤差,分解為條件誤差和實驗誤差，并比較之，作出因素對指標(biāo)的作用是否顯著的結(jié)論，這種分析方法稱為,方差分析法,。,條件誤差、實驗誤差、總誤差之間有什么關(guān)系呢？,用全部,10,個實驗數(shù)據(jù)與總的平均值,（,75.7,）,之差的偏差平方和來估計總的誤差，這個平方和稱為,總的偏差平方和,

5、，記為,S,T,，即,S,T,(75-75.7),2,+(78-75.7),2,+,+(85-75.7),2,1294.10,用同一條件（水平）下,5,次實驗的數(shù)據(jù)與其平均值之差的偏差平方和來估計實驗誤差，即,對,A,1,（,30,）,條件下：,S,1,(75-71.4),2,+(78-71.4),2,+,+(83-71.4),2,429.20,對,A,2,（,40,）,條件下：,S,2,(89-80.0),2,+(62-80.0),2,+,+(85-80.0),2,680.00,這兩個偏差平方和相加，反映了實驗誤差的大小，稱為,組內(nèi)偏差平方和,或誤差平方和（,S,e,）,:,S,e,S,1,

6、+,S,2,429.20+680.00,1109.20,用每種條件（水平）的數(shù)據(jù)平均值與總的平均值差的偏差平方和來估計條件誤差。因每種條件重復(fù)了,5,次，故將此平方和,5,倍，稱為,組間偏差平方和,或因素的偏差平方和（,S,A,）：,S,A,5(71.4-75.7),2,+5(80.0 75.7),2,184.90,可以看出，此處有,S,T,S,A,+,S,e,184.90+1109.20,1294.10,即總的偏差平方和可以分解為組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平,方和。,有了,S,A,和,S,e,之后，是否就能直接比較出由于因素水平的變化引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動之間的差異呢？,偏差平

7、方和不僅與數(shù)據(jù)本身有關(guān)，而且還與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)。為此，必須消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響，采用平均偏差平方和,S,A,/f,A,（組間方差）與,S,e,/f,e,（組內(nèi)方差）進(jìn)行比較，并以此作出推斷。其中，,f,A,和,f,e,分別稱為,S,A,與,S,e,的自由度（即偏差平方和式中獨立數(shù)據(jù)的個數(shù)）。,對,S,e,而言，因為其中的,10,個數(shù)據(jù)滿足兩個關(guān)系式,(75+78+60+61+83)/5=71.4,(89+62+93+71+85)/5=80.0,所以,S,e,的自由度,f,e,=10-2,8.,對,S,A,而言，因為其中的,2,個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式,(71.4+80.0)/2=75.7,所以,S,A

8、,的自由度,f,A,=2-1=1.,對,S,T,而言，因為其中的,10,個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式,(75+78+60+61+83+89+62+93+71+85)/10=75.7,所以,S,T,的自由度,f,T,=10-1=9.,顯然,f,T,=,f,A,+,f,e,=1+8=9.,如果平方和是由,n,項組成，它的自由度就是,n,1,，如果一個平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。,計算,F,值：,然后對因素進(jìn)行顯著性檢驗。,F,值的大小，可以用來判斷因素水平對考察指標(biāo)影響的顯著性。,F,值接近,1,，說明因素水平改變對考察指標(biāo)的影響在誤差范圍內(nèi)，即水平間無顯著差異；,F,值

9、越大，說明因素水平的改變對指標(biāo)的影響超過了實驗誤差造成的影響，即條件誤差相對實驗誤差大得多。,F,多大時，可以說因素的水平改變對考察指標(biāo)的影響是顯著的呢,？小到多小，認(rèn)為實驗結(jié)果的誤差主要是實驗誤差引起的，這就需要有一個標(biāo)準(zhǔn)。這個標(biāo)準(zhǔn)由,F,表給出。,在,F,表上，橫行,n,1,代表,F,值中分子的自由度，豎行,n,2,代表,F,值中分母的自由度，相交后的數(shù)值即為,F,比的臨界值。,本例中，因,對,0.05,，查得,F,0.05,(1,8),5.3,，,為置信度（顯著水平），表示在作出某種判斷時犯錯誤的概率。因,F,1.33,F,（,f,1,，,f,2,）時，如,0.1,，就有,90,的把握說

10、因素,A,的水平改變對實驗結(jié)果有顯著影響。,根據(jù)正交表的特點，其方差分析可以按下述原則進(jìn)行：,總的平方和恰好等于各列的平方和之和。方差分析的優(yōu)點是能把總平方和分解成因素與誤差平方和。,計算規(guī)格化。在正交設(shè)計中每個因素列（包括交互作用列和誤差列）的計算步驟完全一樣。因此，方差分析的基本計算可逐列進(jìn)行。,3.2.4,正交實驗設(shè)計的方差分析,3.2.4.1,相同水平正交實驗設(shè)計的方差分析,例,3.3,用兩種不同蒸養(yǎng)時間和振搗方式進(jìn)行混凝土增強(qiáng)效果的比較試驗。試驗中的因素與水平列于下表。,因素,水平,因素水平表,A,水灰比,B,振搗方法,C,蒸養(yǎng)時間,1,0.4,插搗,3,2,0.45,振搗,4,要考

11、慮,A,、,B,、,C,和,A,B,、,AC,、,BC,對混凝土,7,天抗壓強(qiáng)度的影響，并選擇較優(yōu)的生產(chǎn)工藝。,A,B,AB,C,AC,BC,指標(biāo),1,1,1,1,1,1,1,1,169,2,1,1,1,2,2,2,2,178,3,1,2,2,1,1,2,2,273,4,1,2,2,2,2,1,1,272,5,2,1,2,1,2,1,2,146,6,2,1,2,2,1,2,1,169,7,2,2,1,1,2,2,1,194,8,2,2,1,2,1,1,2,215,K,1,892,662,756,782,826,802,804,總和,1,616,K,2,724,954,860,834,790,8

12、14,812,R,168,292,104,52,36,12,8,L,8,（,2,7,）試驗方案與極差計算結(jié)果,影響因素的主次順序,B A A,B C A,C B,C,例,3.4,對例,3.3,進(jìn)行方差分析,解：按公式先算第,1,列的偏差平方和,S,A,其它各列的計算方法同上,各列自由度均為,2,1,1,，方差分析結(jié)果見下表,方差分析表,方差來源,平方和,自由度,方差,F,值,臨界值,A,S,A,3528,1,3528,56.3,F,0.01,(1,，,3),34.1,B,S,B,10658,1,10658,170.0,F,0.05,(1,，,3),10.1,A,B,S,A,B,1352,1,1

13、352,21.6,F,0.10,(1,，,3),5.54,C,S,C,338,1,338,5.4,A,C,S,A,C,162,1,B,C,S,B,C,18,1,62.7,空列,S,空,8,1,e,S,e,S,AC,+,S,BC,+,S,空,188,3,對因素進(jìn)行,F,檢驗時，一般可考慮四種情況。,F,F,0.01,(,f,因,，,f,e,),，則因素對結(jié)果的影響高度顯著。,F,0.01,(,f,因,，,f,e,),F,F,0.05,(,f,因,，,f,e,),，則該因素對結(jié)果的影響為顯著。,F,0.05,(,f,因,，,f,e,),F,F,0.1,(,f,因,，,f,e,),，則該因素對結(jié)果有

14、影響。,F F,0.1,(,f,因,，,f,e,),，則該因素對結(jié)果無影響。,方差分析結(jié)果：,A,和,B,對強(qiáng)度影響高度顯著，,A,B,影響顯著，而,C,的影響不顯著。所以，對,A,和,B,的水平應(yīng)嚴(yán)格選取，而,C,的水平可以任取。,實驗誤差為：（,V,e,）,1/2,=,（,62.7,）,1/2,=7.9kg/cm,2,可見，方差分析的結(jié)論與極差法的結(jié)論不盡相同。顯然，由于方差分析利用了更多的信息，因此方差分析更加可靠、準(zhǔn)確。,注意,由于實驗誤差的方差,V,e,=,S,e,/f,e,直接影響,F,值的大小。在,f,e,很小時，,F,檢驗的靈敏度很低；,f,e,太大，又要增加實驗次數(shù)，故一般,

15、f,e,在,6,20,之間最理想。,當(dāng)正交實驗安排表中空列不止一列，如為,y,列時，實驗誤差平方和,S,e,應(yīng)等于總平方和,S,T,減去各因素列平方和。,而相應(yīng)的自由度,f,e,=,y,(,因素的水平數(shù),1),3.2.4.2,不同水平正交實驗設(shè)計的方差分析,不同水平（混合型）正交表的方差分析與相同水平的正交表方差分析基本相同，只是在計算偏差平方和及自由度時，應(yīng)注意各列水平數(shù)的差別。,3.2.5,正交實驗的下一輪實驗設(shè)計,在完成了第一輪正交實驗后，通過不同的分析方法，至少可以得到三個優(yōu)秀方案。所獲得的可能最優(yōu)及可能更優(yōu)方案，都還沒有經(jīng)過實驗驗明，而且也還存在實驗誤差，因此正交試驗設(shè)計常常要進(jìn)行第

16、二輪、第三輪甚至更多次。,進(jìn)行下輪實驗的目的：,首先是為了驗證原實驗結(jié)果是否可靠；驗證可能最優(yōu)及可能更優(yōu)方案是否確實最優(yōu)，以及哪一個方案最優(yōu)；,其次是結(jié)合其它要求（如成本、質(zhì)量、能耗、操作等），探尋綜合更優(yōu)的條件組合。,下一輪實驗計劃有如下兩種安排方法：,一、不用正交表的下一輪實驗設(shè)計,對第一輪正交實驗結(jié)果分析所得出的全部可能優(yōu)秀方案，逐一方案都重復(fù)做,n,次實驗。然后將其實驗結(jié)果取平均值，得出每一方案的準(zhǔn)確結(jié)果。比較這些方案的各自結(jié)果，從中選出最優(yōu)秀方案，將其確定為生產(chǎn)條件。,二、繼續(xù)用正交表安排下一輪實驗,此方法是利用前批實驗的經(jīng)驗和信息，重新選取后批實驗的因素、水平以及比前批試驗次數(shù)少的正交表，進(jìn)行下一輪實驗。,