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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,,熱點考向,1,異面直線所成的角及直線與平面所成的角,,【,例,1】(2011,·,綿陽模擬,),如圖，四棱,,錐,S-ABCD,中，,AB∥CD,BC⊥CD,，側面,,SAB,為等邊三角形,.AB=BC=2,CD=SD=1.,,(1),證明：,SD⊥,平面,SAB,；,,(2),求,AB,與平面,SBC,所成角的正弦值,.,【,解題指導,】,(1),證明的突破口是利用等邊三角形,SAB,這個條件，找出,AB,的中點,E,，連結,SE,，,DE,，就作出了解決這個問題的關鍵輔助線,.,,(2
2、),本題直接找線面角不易找出，要找到與,AB,平行的其他線進行轉移求解,.,【,規(guī)范解答,】,(1),取,AB,中點,E,，連結,DE,，則四邊形,BCDE,為矩形，,DE=CB=2.,,連結,SE,，則,SE⊥AB,SE=,,又,SD=1,，故,ED,2,=SE,2,+SD,2,,,,所以∠,DSE,為直角,.,,由,AB⊥DE,，,AB⊥SE,DE∩SE=E,,得,AB⊥,平面,SDE,,所以,AB⊥SD.,,SD,與兩條相交直線,AB,、,SE,都垂直,.,,所以,SD⊥,平面,SAB.,(2),由,AB⊥,平面,SDE,知，平面,ABCD⊥,平面,SDE,,,作,SF⊥DE,，垂足為,
3、F,，則,SF⊥,平面,ABCD,,,,作,FG⊥BC,，垂足為,G,，則,FG=DC=1.,,連結,SG,，則,SG⊥BC,,,又,FG⊥BC,，,SG∩FG=G,,,故,BC⊥,平面,SFG,，平面,SBC⊥,平面,SFG,，,作,FH⊥SG,，,H,為垂足，則,FH⊥,平面,SBC.,,,即,F,到平面,SBC,的距離為,,由于,ED∥BC,，所以,ED∥,平面,SBC,，,E,到平面,SBC,的距離,d,也為,,設,AB,與平面,SBC,所成的角為,α,，則,sinα=,求空間角的一般方法,,計算空間角,,,其一般方法是根據定義通過作輔助線或輔助面構造出要求的角,θ,,并作出含有角,θ
4、,的三角形,,,從而通過解三角形得角,θ,的值,,,其步驟是,:,“,一作、二證、三計算,”,.,,(1),異面直線所成的角一般可以通過平移轉化為兩條相交直線的夾角,,,進而利用解三角形的方法進行求解,.,在實際圖形中往往根據其特點選擇一些特殊位置,(,例如三角形的中位線等,),作平行線,,,有時候也可以通過構造平行四邊形而得到平行線,,,這樣得到的角比較容易計算,.,(2),求直線和平面所成的角的關鍵是,:,作出直線在平面內的射影,,,一般射影也是一些特殊的位置,,,把直線和平面所成的角轉化為平面內兩條直線所成的角進行求解,.,,異面直線所成的角的范圍是,(0, ],，故作出的角在圖形中所
5、反映的未必是所求的角，在解三角形時，若其余弦值大于或等于,0,，則就是此角；若小于,0,，則是其補角,.,如圖，在四棱錐,P-ABCD,中，底面,ABCD,,是矩形，,PA⊥,平面,ABCD,，,PA=AD=2,，,,AB=1,BM⊥PD,于點,M.,,(1),求證：,AM⊥PD,；,,(2),求直線,CD,與平面,ACM,所成的角的余弦值,.,【,解析,】,(1)∵PA⊥,平面,ABCD,，,,AB,?,平面,ABCD,∴PA⊥AB.,,∵AB⊥AD,，,,AD∩PA=A,AD,?,平面,PAD,PA,?,平面,PAD,,,∴AB⊥,平面,PAD.,,∵PD,?,平面,PAD,,,∴AB⊥P
6、D,，,∵BM⊥PD,AB∩BM=B,AB?,平面,ABM,,,BM?,平面,ABM,∴PD⊥,平面,ABM.,,∵AM?,平面,ABM,∴AM⊥PD.,(2),由,(1),知，,AM⊥PD,，又,PA=AD,，,,則,M,是,PD,的中點,,,在,Rt△PAD,中,,,,得,AM=,在,Rt△CDM,中,,,得,,,∴S,△ACM,= AM,·,MC=,,設點,D,到平面,ACM,的距離為,h,，由,V,D-ACM,=V,M-ACD,，,,得,S,△ACM,·,h= S,△ACD,·,PA.,,解得,h=,設直線,CD,與平面,ACM,所成的角為,θ,，,,則,sinθ=,,∵θ∈[0,
7、 ],∴cosθ=,,∴,直線,CD,與平面,ACM,所成的角的余弦值為,熱點考向,2,二面角,,【,例,2】(2011,·,攀枝花模擬,),如圖，,,四棱錐,S-ABCD,的底面是矩形，,SA⊥,,底面,ABCD,，,P,為,BC,邊的中點，,SB,與,,平面,ABCD,所成的角為,45,°,，且,AD=2,,,SA=1.,,(1),求證：,PD⊥,平面,SAP;,,(2),求二面角,A-SD-P,的正切值,.,【,解題指導,】,(1),利用線線垂直證明線面垂直；,(2),先作出二面角的平面角，再進行計算,.,【,規(guī)范解答,】,(1),因為,SA⊥,底面,ABCD,，,,所以∠,SBA,是
8、,SB,與平面,ABCD,所成的角,,,,由已知得∠,SBA=45,°,，所以,AB=SA=1,,,易求得,AP=PD=,,又因為,AD=2,，所以,AD,2,=AP,2,+PD,2,，,,所以,AP⊥PD.,,因為,SA⊥,底面,ABCD,PD,?,平面,ABCD,,,所以,SA⊥PD,,,由于,SA∩AP=A,，所以,PD⊥,平面,SAP.,(2),設,Q,為,AD,的中點,,,連結,PQ,,,由于,SA⊥,底面,ABCD,,且,SA?,平面,SAD,,,則平面,SAD⊥,平面,PAD,,,因為,PQ⊥AD,,,所以,PQ⊥,平面,SAD,,,過,Q,作,QR⊥SD,,垂足為,R,,連結,
9、PR,,,由三垂線定理可知,PR⊥SD,,,所以∠,PRQ,是二面角,A,－,SD,－,P,的平面角,.,容易證明△,DRQ∽△DAS,,則,,因為,DQ=1,，,SA=1,，,SD=,,所以,QR=,,在,Rt△PRQ,中，因為,PQ=AB=1,，,,所以,tan∠PRQ=,,所以二面角,A,－,SD,－,P,的正切值為,二面角的求法：,,二面角的大小是用它的平面角來度量的,.,找,(,或作,),出二面角的平面角是關鍵,,,主要有以下幾種方法,:,,(1),定義法,:,直接在二面角的棱上取一點,(,特殊點,),,分別在兩個半平面中作棱的垂線,,,得出平面角,.,用定義法時,,,要認真觀察圖形
10、的特性,.,(2),三垂線法,:,已知二面角其中一個面內一點到另一個面的垂線,,,用三垂線定理或其逆定理作出平面角,.,注意,:,高考題中求二面角的大小時,,,基本上都是用三垂線定理或其逆定理作出平面角的,.,(3),垂面法,:,已知二面角內一點到兩個面的垂線,,,過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角,.,由此可知,,,二面角的平面角所在的平面與棱垂直,.,,(4),射影法,:,利用面積射影公式,S,射,=S,投,·,cosθ,,其中,θ,為二面角的平面角的大小,.,此方法不必在圖中畫出平面角來,.,,作出二面角的平面角后，必須證明該角就是二面角的平面角,.,已知矩形,ABCD,
11、與正三角形,AED,所在的,,平面互相垂直，,M,、,N,分別為棱,BE,、,,AD,的中點，,AB=1,AD=2,，,,(1),證明：直線,AM∥,平面,NEC,；,,(2),求二面角,N-CE-D,的大小,.,【,解析,】,(1),取,EC,的中點,F,，連結,FM,，,FN,，,,則,FM∥BC,，,FM= BC,，,AN∥BC,，,AN= BC,,,所以,FM∥AN,且,FM=AN,，,,所以四邊形,AMFN,為平行四邊形，,,所以,AM∥NF,，因為,AM,?,平面,NEC,，,NF,?,平面,NEC,，,,所以直線,AM∥,平面,NEC,；,(2),由題設知面,ABCD⊥,面,
12、ADE,，,CD⊥AD,，,,∴,CD⊥,面,ADE.,,又∵,CD?,面,CDE,，∴面,CDE⊥,面,ADE,，,,作,NH⊥DE,于,H,，則,NH⊥,面,CDE,，作,HO⊥EC,于,O,，連結,NO,，由三垂線定理可知,NO⊥CE,，,,∴∠,HON,就是二面角,N-CE-D,的平面角，,在正△,ADE,中，可得,NH=,在,Rt△EDC,中，,,可得,OH=,故在,Rt△NHO,中，,,tan∠HON=,,所以二面角,N-CE-D,的大小為,arctan,熱點考向,3,空間距離,,【,例,3】(2011,·,景德鎮(zhèn)模擬,),如圖，四棱錐,,P-ABCD,中，,AD∥BC,，∠,AD
13、C= PC⊥,平面,,ABCD,，點,E,、,F,分別為,AB,、,PB,中點,.AC⊥DE,，,,其中,AD=1,，,PC=2,，,CD=,證明,,(1) EF∥,平面,PAC,；,,(2),求點,B,到平面,PDE,的距離,.,【,解題指導,】,利用線線平行證明線面平行；先作出點,B,到平面,PDE,的距離，利用平面幾何知識求解,【,規(guī)范解答,】,(1)∵,點,E,、,F,分別為,AB,、,PB,中點,,,,∴EF,為△,BPA,的中位線，∴,EF∥PA,，,,∵,EF,?,平面,PAC,PA,?,平面,PAC,,,∴EF∥,平面,PAC,；,(2)PC⊥,平面,ABCD,?,PC⊥D
14、E,,而已知,,有,AC⊥DE,，,PC∩AC=C.,,所以,DE⊥,平面,PAC.,,又∵,DE,?,平面,PDE,,,∴,平面,PDE⊥,平面,PCA,，,,∵,AE=EB,，,E∈,平面,PDE,,,∴,點,B,到平面,PDE,的距離等于點,A,到平面,PDE,的距離，設,AC,交,DE,于,G,，連結,PG,，則點,A,到,PG,的距離就是點,A,到平面,PDE,的距離，也就是點,B,到平面,PDE,的距離,.,由∠,ADC= AD=1,，,CD=,得,AC=2,，,AG=,,PG=,,過,A,作,AH⊥PG,于,H,，則,AH,的長就是點,B,到,,平面,PDE,的距離，如圖,,
15、則△,PCG∽△AHG,，∴,,,∴點,B,到平面,PDE,的距離為,【,互動探究,】,在例題條件不變的情況下，若,BC=2,，試求三棱錐,B-PDE,的體積,.,,【,解析,】,在底面,ABCD,中，∵,AD=1,，,CD= BC=2,，,,∴∠,BAD=120,°,.,,DE,2,=AD,2,+AE,2,-2AD,·,AEcos120,°,=3,,,由例題解析知，在△,PDE,中，,PG⊥DE,,且,PG=,,又點,B,到平面,PDE,的距離為,,所以,V,B-DPE,= DE,·,PG,·,求空間距離的常用方法,:,,(1),點到平面距離的求解方法一般有兩種,:,,①,直接
16、求解法,:,從該點向平面引垂線,,,確定垂足位置,,,求出點和垂足之間的距離即可,.,,②,間接求解法,:,利用等體積法求點到平面的距離,.,一個幾何體無論怎樣轉動,,,其體積是不變的,.,如果一個幾何體的底面積或高較難求解時,,,我們可考慮利用等體積法求解,.,(2),直線與它的平行平面的距離,:,求解時通常轉化為直線上一個特殊點到平面的距離,.,,(3),兩個平行平面的距離,:,求解時,,,在一個平面內任取一點,,,作它到另一平面的垂線段,,,垂線段的長就是所求距離,.,實質上也是點到平面的距離,.,,(4),兩條異面直線間的距離,:,要特別注意對定義中的,“,都垂直且相交,”,的理解,,
17、,兩條異面直線間的距離是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條,,,可轉化為線面垂直或線面平行,,,面面平行問題,,,再進一步轉化為點到直線的距離或點到平面的距離,.,,空間距離都要轉化為兩點間的距離即線段長來計算，在實際題型中，線線距、線面距和面面距，這些距離的核心是求點到平面的距離，除了能直接用定義計算的外，都要化為點到平面的距離來求解,.,如圖，已知斜三棱柱,ABC,—,A,1,B,1,C,1,,,,AC⊥BC,AC=BC=2,A,1,在底面,ABC,上,,的射影恰為,AC,的中點,D,，又知,,BA,1,⊥AC,1,.,,(1),求證：,AC,1,⊥A,1,C;,,(2),求,C
18、C,1,到平面,A,1,AB,的距離；,,(3),求二面角,A,—,A,1,B,—,C,的正弦值,.,【,解析,】,(1)∵A,1,D⊥,平面,ABC,∴A,1,D⊥BC,，,,又,AC⊥BC,，,AC∩A,1,D=D.,,∴BC⊥,平面,ACC,1,A,1,,∴BC⊥AC,1,,又∵,BA,1,⊥AC,1,,∴AC,1,⊥,平面,A,1,BC,∴AC,1,⊥A,1,C.,(2)∵AC,1,⊥A,1,C,,,∴,四邊形,ACC,1,A,1,為菱形，,,故,AA,1,=AC=2,,,又,D,為,AC,的中點，,,∴∠,A,1,AC=60,°,,∴△A,1,AC,為等邊三角形,.,取,AA,1,的
19、中點,F,,則,AA,1,⊥,平面,BCF,，從而平面,A,1,AB⊥,平面,BCF.,過,C,作,CH⊥BF,于,H,，則,CH⊥,平面,A,1,AB,，故,CH,即為所求,CC,1,到平面,A,1,AB,的距離,,在,Rt△BCF,中，,BC=2,CF=,故,CH=,,即,CC,1,到平面,A,1,AB,的距離為,CH=,(3),過,H,作,HG⊥A,1,B,于,G,，連結,CG,,由,(2),可知∠,CGH,為二面角,,A,—,A,1,B,—,C,的平面角,.,,在,Rt△A,1,BC,中，,A,1,C,＝,BC=2,，∴,CG=,,在,Rt△CGH,中，,sin∠CGH,＝,,故二面角
20、,A,—,A,1,B,—,C,的正弦值為,熱點考向,4,空間角與距離的探索性問題,,【,例,4】(12,分,)(2011,·,新鄉(xiāng)模擬,),已知四棱錐,S,—,ABCD,中，,AB=BC=CD=DA=SA=2,，底面,ABCD,是正方形，,SD=SB=2,,(1),在該四棱錐中，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；,,(2),用多少個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為,2,的正方體,ABCD,—,A,1,B,1,C,1,D,1,？說明你的結論,.,(3),在,(2),的條件下，設正方體,ABCD,—,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,BB,1,的中點為,N,，棱,DD,1,的中點
21、為,M,，求二面角,A,—,MN,—,C,的余弦值,.,【,解題指導,】,(1),由,SA⊥AB,SA⊥AD,得,SA⊥,底面,ABCD,，,(2),從割補法思想入手證得結論，,(3),先作出平面角后求即可,.,【,規(guī)范解答,】,(1),存在側棱,SA⊥,底面,ABCD,,,事實上因為,AB=BC=CD=DA=SA=2,SD=SB=2,,由勾股定理的逆定理得,SA⊥AB,SA⊥AD,,,AB∩AD=A,，,,故側棱,SA⊥,底面,ABCD.,…………………,4,分,(2),用三個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長,,為,2,的正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,.,它們是：,,四棱錐,
22、A,1,-ABCD(,側棱,A,1,A⊥,面,ABCD),，,,四棱錐,A,1,-B,1,BCC,1,(,側棱,A,1,B,1,⊥,面,B,1,BCC,1,),，,,四棱錐,A,1,-D,1,DCC,1,(,側棱,A,1,D,1,⊥,面,D,1,DCC,1,).,,………………………………………………………………,8,分,(3),由正方體的對稱性得在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，△,AMN,△CMN,均為等腰三角形，設,O,為,MN,的中點， ∠,AOC,即為二面角,A-MN-C,的平面角,.,,AO=CO=,由余弦定理得,,,,,故二面角,A-MN-C,的余弦值為,-
23、,…………………………,12,分,探索性問題,,,通常有以下兩種類型,,(1),是結論開放性問題,;,,(2),是條件開放性問題,,,此類問題的解題關鍵在于掌握常規(guī)的線面位置關系證明方法和空間角距離的計算方法,,,而最終問題往往要轉化到同一個平面中,,,用平面幾何知識處理,.,如圖，已知四邊形,ABCD,是直角梯形，∠,ABC=90,°,,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1.,,沿,AC,將△,ABC,折起，使點,B,落到點,P,的,,位置，且平面,PAC⊥,平面,ACD.,,(1),證明：,PC⊥CD,；,,(2),在,PA,上是否存在一點,E,，使得,BE∥,平面,PCD?,若存在，請指
24、出點,E,的位置，并給出證明；若不存在，請說明理由,.,【,解析,】,(1),在直角梯形,ABCD,中，,,易知,AC⊥CD,，,,∵平面,PAC⊥,平面,ACD,,交線為,AC,,,∴CD⊥,平面,PAC.,,又∵,PC,?,平面,PAC,∴PC⊥CD.,(2),存在，當點,E,為,PA,的中點時，,BE∥,平面,PCD.,,給出證明：取,PA,的中點為,E,AD,的中點為,F,，連結,BE,BF,EF.,,∵AD=2,BC=1,,,∴BC=FD,,又,BC∥FD,,,∴,四邊形,BCDF,是平行四邊形，∴,BF∥CD,,∵BF?,平面,PCD,∴BF∥,平面,PCD.,,∵E,F,分別是,
25、PA,AD,的中點，∴,EF∥PD.,,∵EF?,平面,PCD,∴EF∥,平面,PCD.,,∵EF∩BF=F,∴,平面,BEF∥,平面,PCD,，,,∵,BE?,平面,BEF,∴BE∥,平面,PCD.,轉化與化歸思想,——,解答立體幾何問題,,1.,利用轉化與化歸的思想解決問題的模式：,2.,轉化與化歸思想在立體幾何中應用的主要類型,,(1),角的轉化，將空間角轉化為平面角,.,,(2),距離的轉化，將線面距、面面距轉化為點面距,.,,(3),曲線向直線轉化，利用立體圖形的側面展開圖解決沿側面繞行的最短線段問題,.,,轉化時注意的問題：,,(1),轉化前后量的關系；,,(2),最后結論要還原到
26、原來的問題上去,.,【,典例,】,如圖，正四棱錐,S-ABCD,中，側棱長為,3 cm,，每個側面等腰三角形的頂角為,30,度，一只螞蟻從,A,點出發(fā)，沿著側面按最短路線繞行一周到達,SA,的中點,M,，求螞蟻離頂點最近時，它到頂點的距離,.,【,解題指導,】,將立體幾何問題轉化為平面幾何問題解決,.,將側面沿著,SA,剪開，鋪平，則螞蟻行進路線變?yōu)槠矫鎴D形中的線段問題,.,【,規(guī)范解答,】,四棱錐側面展開圖中，在△,SAM,中，,,SA=3 cm,，,SM= cm,，∠,ASM=120,°,，,,由余弦定理得,：,AM=,,,作,SH⊥AM,于,H,，,,由面積關系得：,SA,·,SM,·,sin120,°,= AM,·,SH,,,∴SH= cm.,
【備戰(zhàn)】高考數學-專題輔導與訓練-52《空間角與距離》課件-理-新人教版
