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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,*,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),1,加減法,設(shè),f,(,x,)=,和,g,(,x,)=,,的收斂半徑,分別各為,R,1,>0,和,R,2,>0,,,,則,=,f,(,x,),?,g,(,x,).,的收斂半徑,,R,,? min{,R,1,,,R,2,},.,2,,設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑,R,>0,,則在收斂區(qū)間,(,?,R,,,R,),內(nèi),,,其,和函數(shù),S,(,x,),是,連續(xù),函數(shù),.,若級(jí)數(shù) 在端點(diǎn)收斂,,,則,S,(,x,),在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù),.,,
2、3,冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù),S,(,x,),在收斂區(qū)間,(,?,R,,,R,),內(nèi)可導(dǎo),,,并可以,逐項(xiàng)求導(dǎo),任意次,,,且求導(dǎo)后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變,.,即,,f,?,(,x,),=,x,,?(?,R,,,R,),,4,冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù),S,(,x,),在收斂區(qū)間,(,?,R,,,R,),內(nèi)可積,,,并可,逐項(xiàng)求積分,,,且積分后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變,.,x,,?(?,R,,,R,),,即,n,=1,,(,a,n,x,n,),?,,,注,,:,常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù),(1),(,?,1<,x,<1),(2),(3),(4),(5),,二、麥克勞林,(,Mac
3、laurin,),公式,三、,泰勒級(jí)數(shù),一、泰勒公式的建立,§7.6,泰勒,(,Taylor,),公式與泰勒級(jí)數(shù),4,,一次多項(xiàng)式,在微分的應(yīng)用中有近似計(jì)算公式,:,若,f,?,(,x,0,),存在,,,則在,x,0,點(diǎn)附近有,f,(,x,) =,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0,) (,x,?,x,0,),f,(,x,),?,,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0,) (,x,?,x,0,),+,o,(,x,?,x,0,),需要解決的問(wèn)題,如何提高精度,?,如何估計(jì)誤差,?,不足,:,1.,精確度不高,;,2.,誤差不能定量的估計(jì),.,希望,:,在,x,0,點(diǎn)附近,,,用適當(dāng)?shù)?
4、高次多項(xiàng)式,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,?,f,(,x,),,一、泰勒公式,,猜想,2,若有相同的切線,3,若彎曲方向相同,近似程度越來(lái)越好,,n,次多項(xiàng)式系數(shù)的確定,,1,若在,x,0,點(diǎn)相交,P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),P,n,?,(,x,0,)=,f,?,(,x,0,),P,n,?,(,x,0,)=,f,?,,(,x,0,),??????,y,=,f,(,x,),假設(shè),P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),y,=
5、,P,n,,(,x,),x,o,y,x,0,,即有,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,假設(shè),P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),P,n,,(,n,),(,x,),=,n,!,a,n,P,n,?,,(,x,),=,a,1,+2,a,2,(,x,?,x,0,)+3,a,3,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,na,n,(,x,?,x,0,),n,?,1,P,n,?,(,x,),=2,a,2,+3?2,a,2,(,x,?,x,0,)+,
6、···,+,n,?(,n,?1,)?,a,n,(,x,?,x,0,),n,?2,??????,a,0,=,,f,(,x,0,),,2,a,2,=,f,?,(,x,0,),,n,!,a,n,=,f,(,n,),(,x,0,),,??????,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,令,x,,=,x,0,得,a,1,=,f,?,(,x,0,),,??????,a,0,=,,f,(,x,0,),,a,1,=,f,?,(,x,0,),,,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,代入,P,n,(,x,),中得,P,n,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,?(,x,0,),(,x,?,x,
7、0,)+,(,x,?,x,0,),2,+,···,+ (,x,?,x,0,),n,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,稱為函數(shù),f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒多項(xiàng)式,.,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,稱為泰勒系數(shù),f,(,x,) =,P,n,(,x,) +,o,(,x,?,x,0,),n,.,,其中,定理,1 (,泰勒中值定理,),,若函數(shù),f,(,x,),在,x,0,點(diǎn)的某鄰域,U,R,(,x,0,),內(nèi)具有直到,n,+1
8、,階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,,則當(dāng),x,取,U,R,(,x,0,),內(nèi)任何值,時(shí),,,f,(,x,),可按,(,x,?,x,0,),的方冪展開(kāi)為,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x,0,)+,(,?,,在,x,0,與,x,之間,),+,R,n,(,x,),公式,(1),稱為函數(shù),f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒公式,.,(1),,R,n,(,x,),稱為,拉格朗日,(,Lagrange,),余項(xiàng),.,泰勒系數(shù),k,=0, 1, 2,,,···,,n,是唯一的,.,,設(shè),f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x,0,)+,k
9、,,證,由于,f,(,x,),在,U,R,(,x,0,),內(nèi)具有,n,+1,階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,,作輔助函數(shù),?,(,t,),=,f,(,x,)?[,f,(,t,)+,f,,?(,t,)(,x,?,t,)+,?,(,x,),=0,=?,(,x,0,),,不妨設(shè),x,0,<,x,,,則,?,(,t,),在,[,x,0,,,x,],連續(xù),,,在,(,x,0,,,x,),可導(dǎo),,,羅爾定理知,,,至少存在一點(diǎn),?,?,(,x,0,,,x,),,使,??,(,?,)=0,,,因,??,(,t,),=,?,f,?,(,t,),?,(,t,),=,f,(,x,)?,f,(,t,)?,f,,?(,t,)(,x,?
10、,t,),?,?,[,f,?,(,t,)(,x,?,t,),?,f,?(,t,)],?,???,所以,?,?,(,x,0,,,x,),,故,解得,k,=,f,(,n,+1),(,?,),,,x,0,>,x,時(shí)同理可證,,,,其中,f,(,x,),=,f,(0)+,f,?(0),x,+,1,?,當(dāng),x,0,=0,時(shí),,,(,?,,在,0,與,x,之間,),或令,?,,=,?,x,, 0<,?,<1,,則,+,R,n,(,x,),.,稱為函數(shù),f,(,x,),的,麥克勞林,(,Maclaurin,),公式,.,2,?,,f,(,x,) ?,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x
11、,0,)+,其誤差為,:,,R,n,(,x,),,解,例,1*,,求,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,階,泰勒公式,.,因?yàn)?f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,???,所以,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,n,=1, 2, 3,,???,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,階,泰勒公式為,:,其中,0<,?,<1.,,定義,如果函數(shù),f,(,x,),在,x,0,的某鄰域內(nèi)是存在,任意階導(dǎo)數(shù),,,則冪級(jí)數(shù),稱為函數(shù),f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒級(jí)數(shù),.,=,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0
12、,)(,x,?,x,0,),二、泰勒級(jí)數(shù),稱為函數(shù),f,(,x,),的,麥克勞林級(jí)數(shù),.,問(wèn)題,:,泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于,f,(,x,)?,不一定,.,,解,例,2*,,求,f,(,x,),=,sin,x,,在,x,=0,的,泰勒級(jí)數(shù),.,當(dāng),n,=2,k,時(shí),,,,f,(2,k,),(0),=,sin(,k,?,,)=0,,k,=0,1,2,,???,,當(dāng),n,=2,k,+1,時(shí),,,,f,(2,k,+1),(0),=sin (,k,?,+,,),=,,(?1),k,,,得,因,=0,,于是,R,=+?,,定理,2,,f,(,x,),在,x,0,點(diǎn)的,泰勒級(jí)數(shù),在,U,R,,(,x,
13、0,),內(nèi)收斂于,f,(,x,),,,?,,在,U,R,,(,x,0,),內(nèi),,,R,n,(,x,),?0.,,=0,,所以,sin,x,,=,,0,?,,其中,收斂區(qū)間為,:,(,??, +?,).,,x,?,(,??, +?,).,即,,麥克勞林多項(xiàng)式逼近,sin,x,y,=,sin,x,y,=,x,,§7.7,初等函數(shù)的冪,級(jí)數(shù)展開(kāi)式,一、直接法,(,泰勒級(jí)數(shù)法,),,二、間接法,,三、常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,,步驟,:,(1),求,f,(,n,),(,x,),,n,=0,1,2,,,???,(4),討論,?,并求出其收斂區(qū)間,.,(3),寫出冪級(jí)數(shù),利用,泰勒公式,或,麥克勞林公式,將
14、,f,(,x,),展開(kāi)為冪級(jí)數(shù),若,為,0,,,則冪級(jí)數(shù)在此,收斂,區(qū)間內(nèi)等,于,函數(shù),,f,(,x,),;,若,不為,0,,,則冪級(jí)數(shù)雖然,收斂,,,但它的,和不是,f,(,x,).,一、直接法,(,泰勒級(jí)數(shù)法,),(2),計(jì)算,a,n,=,,f,(,n,),(,x,0,),,,n,=0,1,2,,,???,,解,例,1,,將,f,(,x,),=,e,x,在展開(kāi)成,x,的冪級(jí)數(shù),.,因,f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,???,,,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,麥克勞林級(jí)數(shù),為,:,其中
15、,0<,?,<1,=,0,,所以,,e,x,=1+,x,+,??,<,x,<+?.,收斂,區(qū)間為,:,(,??, +?,),,二項(xiàng)展開(kāi)式,+???,+,nx,n,?1,+,x,n,(1+,x,),n,=,1+,nx,+,(1+,x,),?,=,1+,?x,+,?,,解,例,2,,將,f,(,x,),=(1+,x,,),?,展開(kāi)成,x,的冪級(jí)數(shù),.,n,=0,1,2,,???,,,f,(,n,),(0),=,?,(,?,?1)(,??,2)???(,?,?,n,+1),=1,,得,[(1+,x,),?,],(,n,),,=,?,(,?,?1),(,??,2,),???(,?,?,n,+,1)(1
16、+,x,),(,?? n,),,,,注意,:,當(dāng),x,=,?,1,時(shí),,,級(jí)數(shù)的收斂性與,?,的取值有關(guān),.,?,?,,?,1,,收斂區(qū)間為,: (,?1, 1,).,?,1<,?,<0,,,收斂區(qū)間為,: (,?1, 1],.,?,>0,,,收斂區(qū)間為,: [,?1, 1],.,所以,(1+,x,),?,的泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是,(?1, 1),,,,x,?(?1, 1),(1+,x,),?,=,1+,?x,+,牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式,當(dāng),?,,=,,?,1,時(shí),,,x,?,(,?1, 1,).,=,1,?,x,+,x,2,?,x,3,+,···,+(?1,),n,x,n,+,···,,三、小結(jié),1.,如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù),;,2.,泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件,;,3.,函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法,.,,
泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)
