2022屆高考數學基礎總復習提升之專題突破詳解專題30復數（含解析）

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1、專題30 復數 一、學習目標 【學習目標】 1．理解復數的有關概念，掌握復數相等的充要條件，并會應用． 2．了解復數的代數形式的表示方法，能進行復數的代數形式的四則運算． 3．了解復數代數形式的幾何意義及復數的加、減法的幾何意義，會簡單應用． 二．知識點與方法總結 1．復數的有關概念 (1)復數的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部，若b≠0，則a＋bi為虛數，若a=0，則a＋bi為純虛數，i為虛數單位． (2)復數相等：復數a＋bi＝c＋di?a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a

2、 =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)． (4)復數的模 向量的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|． 2．復數的四則運算 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝＝＋i(c＋di≠0)． 3．兩條性質 (1)i4n＝1，i4n＋

3、1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)； (2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 4.方法規(guī)律總結 （1）.設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數相等的充要條件轉化為實數問題是求解復數常用的方法. （2）.實數的共軛復數是它本身，兩個純虛數的積是實數. （3）.復數問題幾何化，利用復數、復數的模、復數運算的幾何意義，轉化條件和結論，有效利用數和形的結合，取得事半功倍的效果. 三．命題類型及陷阱措施 1.復數模的幾何意義 2.復數的代數運算 3.共軛復數 4.復數冪的運算 5.復數與向量的綜合 四．命題陷阱講

4、解及練習 1.復數模的幾何意義 例1. 1．已知， ， ， ，則（　?。? A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 2．已知， ，則的最大值和最小值分別是（　　） A. 和 B. 3和1 C. 和 D. 和3 【答案】A 【解析】 ，設，則 ,表示在以為圓心為半徑的圓上，則表示到的距離，根據圓的幾何性質可知，圓上的動點到點的最大值為，最小值為，故選A. 3．表示（　?。? A. 點與點之間的距離 B. 點與點之間的距離 C. 點與原點的距離 D. 點與點之間的距離 【答案】A 4．復數 (為虛數單位），則（ ）

5、 A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 5．在復平面內，復數（為虛數單位），則為（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 故選 2.復數的代數運算 例2已知復數滿足是虛數單位,則復數的虛部是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，所以虛部是，故選B。 練習1．已知，復數，若的虛部為1，則（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】，所以， 。故選B。 2．已知復數z＝1－2i，那么等于(　　)

6、 A. B. i C. D. 【答案】C 【解析】＝＝，選C. 3．已知，其中m為實數，i為虛數單位，若，則m的值為（　 ?。? A. 4 B. C. 6 D. 0 【答案】B 【解析】由題意， ，解得，故選B。 4．若復數（是虛數單位）是純虛數，則實數的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5．設復數，設（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 故選 6．已知復數， （ ） A. -3 B. -1 C. 1 D.

7、 3 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴．選B． 3.共軛復數 例3已知，則復數的共軛復數在復平面內所對應的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 練習1．設復數互為共軛復數， ，則＝(　　) A. －2＋i B. 4 C. －2 D. －2－i 【答案】B 【解析】由題意得， ∴．選B． 2．設是虛數單位，若復數，則的共軛復數為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】復數 ，根據共軛復數的概念得到，共軛復數為： 。 故答案為：

8、D。 3．若復數，則復數對應的點在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】因為復數 ，所以 ， 對應點坐標為 ，由此復數對應的點在第三象限，故選C. 4．若z=4+3i,則=　(　　) A. 1 B. -1 C. +i D. -i 【答案】D 【解析】 由題意得，所以，故選D. 4.復數冪的運算 例4.(1+i)20-(1-i)20的值是　(　　) A. -1024 B. 1024 C. 0 D. 512 【答案】C 【解析】(1+i)20-(1-i)20

9、 =[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0. 故答案為：C。 【方法講解】：這個題目考查的是復數的乘方運算，i的平方等于-1，根據這個可以得到規(guī)律，這是周期為4的一個周期性地規(guī)律，對于次數較高的復數運算，可以根據這個規(guī)律計算。 練習1. 已知復數，則在復平面內，復數所對應的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】，故，故在第三象限. 2．在復平面內，復數對應的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

10、 D. 第四象限 【答案】C 【解析】因為 ，復數對應的點的坐標為 ，故復數對應的點位于第三象限,故選C. 3．復數（ ） A. 1 B. 1+ C. D. 1- 【答案】B 4. 已知為虛數單位，復數滿足，則復數等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ∴ 故選D 5. 設 (n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數為________． 【答案】3 【解析】因為f(n)＝＝in＋(－i)n，所以f(1)＝0，f(2)＝－2， f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0＝f

11、(1)，…，故集合{f(n)}中共有3個元素． 6．已知復數z＝，則復數z在復平面內對應的點為__________． 【答案】 【解析】分子 則復數在復平面內對應的點為 5.復數與向量的綜合 例5在復平面內，把復數對應的向量按順時鐘方向旋轉，所得向量對應的復數是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得所得向量對應的復數是 選B. 練習1、已知A,B,C是復平面內的三個不同點,點A,B對應的復數分別是-2+3i,-i,若=,則點C表示的復數是　(　　) A. -2+2i B. -2+4i C. -1+i

12、 D. -1+2i 【答案】C 【解析】設表示的復數為,點對應的復數分別是, ， 因為 所以， 解得，所以點表示的復數是，故選C. 2．在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若向量,對應的復數分別是3+i,-1+3i,則對應的復數是　(　　) A. 2+4i B. -2+4i C. -4+2i D. 4-2i 【答案】D 【解析】 由題意可得，在平行四邊形中， 則，所以對應的復數為，故選D． 3. 如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是，則|z1＋z2|＝(　　) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【

13、答案】A 【解析】由題圖可知，z1＝－2－i，z2＝i，則z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故選A. 五．高考真題演練 1.【2017課標1，理3】設有下面四個命題 ：若復數滿足，則；：若復數滿足，則； ：若復數滿足，則；：若復數，則. 其中的真命題為 A. B． C． D． 【答案】B 【解析】 當時，滿足，但，知不正確； 對于，因為實數沒有虛部，所以它的共軛復數是它本身，也屬于實數，故正確，故選B. 【考點】復數的運算與性質. 【名師點睛】分式形式的復數，分子分母同乘分母的共軛復數，化簡成的形式進行判斷，共軛復數只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾?/p>

14、數即可. 2.【2017課標II，理1】（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由復數除法的運算法則有：，故選D。 【考點】 復數的除法 【名師點睛】復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除。除法實際上是分母實數化的過程。在做復數的除法時，要注意利用共軛復數的性質：若z1，z2互為共軛復數，則z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復數將分母實數化。 3.【2017山東，理2】已知,i是虛數單位，若，則a= （A）1或-1 （B）

15、 （C）- （D） 【答案】A 【名師點睛】復數的共軛復數是，據此結合已知條件，求得的方程即可. 5.【2017課標3，理2】設復數z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣= A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可得： ，由復數求模的法則： 可得： . 故選C. 【考點】 復數的模；復數的運算法則 【名師點睛】共軛與模是復數的重要性質，注意運算性質有： (1) ；(2) ； (3) ；(4) ； (5) ；(6) . 6.【2017北京，理2】若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是 （A）（–∞

16、，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） 【答案】B 【解析】 【考點】復數的運算 【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 7. 【2016新課標理】設其中,實數,則( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B

17、 【解析】 試題分析：因為所以故選B. 考點：復數運算 【名師點睛】復數題也是每年高考必考內容,一般以客觀題形式出現,屬得分題.高考中復數考查頻率較高的內容有：復數相等,復數的幾何意義,共軛復數,復數的模及復數的乘除運算,這類問題一般難度不大,但容易出現運算錯誤,特別是中的負號易忽略,所以做復數題要注意運算的準確性. 8.【2015高考安徽，理1】設i是虛數單位，則復數在復平面內所對應的點位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由題意，其對應的點坐標為，位于第二象限，故選B. 【考點定位】1

18、.復數的運算；2.復數的幾何意義. 【名師點睛】復數的四則運算問題主要是要熟記各種運算法則，尤其是除法運算，要將復數分母實數化（分母乘以自己的共軛復數），這也歷年考查的重點；另外，復數在復平面內一一對應的點為. 9. 【2014高考廣東卷.理.2】已知復數滿足，則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考點定位】本題考查復數的四則運算，屬于容易題. 【名師點晴】本題主要考查的是復數的除法運算，屬于容易題．解題時一定注意分子和分母同時乘以的共軛復數，否則很容

19、易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是復數的除法運算，即，． 10. 【2016高考新課標3理數】若，則（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) 【答案】C 【解析】 試題分析：，故選C． 考點：1、復數的運算；2、共軛復數． 【舉一反三】復數的加、減法運算中，可以從形式上理解為關于虛數單位“”的多項式合并同類項，復數的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結果中把換成－1.復數除法可類比實數運算的分母有理化．復數加、減法的幾何意義可依平面向量的加、減法的幾何意義進行理解． 11.【2015高考廣東

20、，理2】若復數 ( 是虛數單位 )，則（ ） A． B． C． D． 【答案】． 【解析】因為，所以，故選． 【考點定位】復數的基本運算，共軛復數的概念． 【名師點睛】本題主要考查復數的乘法運算，共軛復數的概念和運算求解能力，屬于容易題；復數的乘法運算應該是簡單易解，但學生容易忘記和混淆共軛復數的概念，的共軛復數為． 12.【 2014湖南1】滿足（是虛數單位）的復數（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考點定位】復

21、數 復數除法 【名師點睛】在對復數之間進行乘法運算時，直接利用多項式的乘法分配律進行計算，在最后一步的計算中，根據，最后根據復數的加法原則，實部與實部相加，虛部與虛部相加便可得到最終結果；在進行復數的除法運算時，首先將分式的分子分母同時乘以分母的共軛復數，分子的運算遵循復數的乘法運算法則，從而得到相應的結果. 13.【2016高考新課標2理數】已知在復平面內對應的點在第四象限，則實數的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復

22、數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． 復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)． 復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 14.【2016高考山東理數】若復數z滿足 其中i為虛數單位，則z=（ ） （A）1+2i （B）12i （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：設，則，故，則，選B. 考點：1.復數的運算；2.復數的概念. 【名師點睛】本題主要考查復數的運算及復數的概念，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，復數題目往往不難，有時運算與概念、復數的幾何意義綜合考查，也是

23、考生必定得分的題目之一. 15.【2015高考山東，理2】若復數滿足，其中為虛數為單位，則=（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因為，所以， ，所以， 故選：A. 【考點定位】復數的概念與運算. 【名師點睛】本題考查復數的概念和運算，采用復數的乘法和共軛復數的概念進行化簡求解. 本題屬于基礎題，注意運算的準確性. 16. 【2015高考新課標2，理2】若為實數且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【名師點睛】本題考查復數的運算，要利用復數相等

24、列方程求解，屬于基礎題． 17. 【2014新課標，理2】設復數，在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，則（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】A 【解析】由題意知：，所以-5，故選A。 【考點定位】復數的運算及概念. 【名師點睛】本題考查了復數的乘法運算，復數的幾何意義，本題屬于基礎題，注意運算的準確性. 18．【2015高考四川，理2】設i是虛數單位，則復數( ) （A）-i （B）-3i （C）i.

25、 （D）3i 【答案】C 【解析】 ，選C. 【考點定位】復數的基本運算. 【名師點睛】復數的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬于容易題.一般來說，掌握復數的基本概念及四則運算即可. 19.【2015高考新課標1，理1】設復數z滿足=，則|z|=( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】由得，==，故|z|=1，故選A. 【考點定位】本題主要考查復數的運算和復數的模等. 【名師點睛】本題將方程思想與復數的運算和復數的模結合起來考查，試題設計思路新穎，本題解題思

26、路為利用方程思想和復數的運算法則求出復數z，再利用復數的模公式求出|z|,本題屬于基礎題，注意運算的準確性. 20. 【2015高考北京，理1】復數（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【名師點睛】本題考查復數的乘法運算，本題屬于基礎題，數的概念的擴充部分主要知識點有：復數的概念、分類，復數的幾何意義、復數的運算，特別是復數的乘法與除法運算，運算時注意，注意運算的準確性,近幾年高考主要考查復數的乘法、除法，求復數的模、復數的虛部、復數在復平面內對應的點的位置等. 21. 【2014天津，理1】是虛數單位，復數（　　）

27、 （A） （B）　 （C） （D） 【答案】A． 【解析】 試題分析：，故選A． 考點：復數的運算． 【名師點睛】本題考查復數的乘法運算，本題屬于基礎題，數的概念的擴充部分主要知識點有：復數的概念、分類，復數的幾何意義、復數的運算，特別是復數的乘法與除法運算，運算時注意，注意運算的準確性,近幾年高考主要考查復數的乘法、除法，求復數的模、復數的虛部、復數在復平面內對應的點的位置等. 22. 【2014年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷1】 為虛數單位，則（ ） A. B.

28、 C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：因為，故選A. 考點：復數的運算，容易題. 【名師點睛】本題考查了復數的四則運算，屬容易題. 其難度雖然不大，但仍能較好的考查復數的基本概念和基本運算法則，充分體現了高考始終堅持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基礎，強調教材的重要性. 23. 【2015高考湖北，理1】 為虛數單位，的共軛復數為（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】,所以的共軛復數為，選A . 【考點定位】

29、共軛復數. 【名師點睛】復數中，是虛數單位,. 24. 【2014福建，理1】復數的共軛復數等于（ ） 【答案】C 【解析】 25. 【2014遼寧理2】設復數z滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：因為，故選A. 考點： 復數的運算. 【名師點睛】本題考查復數的概念和運算，其解答利用方程思想，采用分母實數化求解. 本題屬于基礎題，注意運算的準確性. 26. 【2015湖南理1】已知（為虛數單位），則復數=（ ） A. B. C. D

30、. 【答案】D. 【解析】 【名師點睛】本題主要考查了復數的概念與基本運算，屬于容易題，意在考查學生對復數代數形式四則運 算的掌握情況，基本思路就是復數的除法運算按“分母實數化”原則，結合復數的乘法進行計算，而復數 的乘法則是按多項式的乘法法則進行處理. 27.【2017天津，理9】已知，i為虛數單位，若為實數，則a的值為 . 【答案】 【解析】為實數， 則. 【考點】 復數的分類 【名師點睛】復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． 復數，

31、 當時，為虛數， 當時，為實數， 當時，為純虛數. 28.【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虛數單位）則 ，ab= ． 【答案】5，2 【解析】 試題分析：由題意可得，則，解得，則 【考點】復數的基本運算和復數的概念 【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題．首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如． 其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為 29. 【2016高考天津理數】已知，i是虛數單位，若，則的值為_______. 【答案】2 【解析】 【名師點睛】本題

32、重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如 . 其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、共軛為 30. 【2015江蘇高考，3】設復數z滿足（i是虛數單位），則z的模為_______. 【答案】 【解析】 【考點定位】復數的模 【名師點晴】在處理復數相等的問題時，一般將問題中涉及的兩個復數均化成一般形式，利用復數相等的充要條件“實部相等，虛部相等”進行求解.本題涉及復數的模，利用復數模的性質求解就比較簡便： 31.【2016年高考北京理數】設，若復數在復平面內對應的點位于實軸上，則_________

33、______. 【答案】. 【解析】 試題分析：，故填：. 考點：復數運算 【名師點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數化 32.【2015高考重慶，理11】設復數a+bi（a，bR）的模為，則（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3 【名師點晴】復數的考查核心是代數形式的四則運算，即使是概念的考查也需要相應的運算支持．本題首先根據復數模的定義得，復數相乘可根據平方差公式求得 ，也可根據共軛復數的性質得． 33. 【2016高考江蘇卷】復數其中i為虛數單位，則z的實部是_______________. 【答案】5 【解析】 試題分析：，故z的實部是5 考點：復數概念 【名師點睛】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題.首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、共軛為