【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修4同步輔導(dǎo)與檢測含答案第一章 章末復(fù)習(xí)課

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 章末復(fù)習(xí)課 整合整合 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示警示 易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒 1關(guān)注角的概念的推廣關(guān)注角的概念的推廣 (1)由于角的概念的推廣由于角的概念的推廣，有些術(shù)語的含義也發(fā)生了變化如小有些術(shù)語的含義也發(fā)生了變化如小于于 90的角可能是零角、銳角或負(fù)角的角可能是零角、銳角或負(fù)角 (2)注意象限角、銳角、鈍角等概念的區(qū)別和聯(lián)系注意象限角、銳角、鈍角等概念的區(qū)別和聯(lián)系，如銳角是第如銳角是第一象限角一象限角，但第一象限角不一定是銳角但第一象限角不一定是銳角 2確定角所在象限的關(guān)注點(diǎn)確定角所在象限的關(guān)注點(diǎn) 由三角函數(shù)值符號確定角由三角函數(shù)值符號確定角 的象限時(shí)的象限時(shí)，不要忽視

2、不要忽視 的終邊可能落的終邊可能落在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上，如如 sin 0)的單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間間，先研究正弦函數(shù)先研究正弦函數(shù) ysin x 和余弦函數(shù)和余弦函數(shù) ycos x 的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，再把其中的再把其中的“x”用用“x”代替代替，解解關(guān)于關(guān)于 x 的不等式即可求出所求的不等式即可求出所求的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間，但要特別關(guān)注但要特別關(guān)注 A 的正負(fù)的正負(fù) (2)正切函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間無單調(diào)遞減區(qū)間正切函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間無單調(diào)遞減區(qū)間. 專題一專題一 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念 三角函數(shù)的概三角函數(shù)的概念所涉及的內(nèi)容主要有以下兩方面： 理解任意角的念所涉及的內(nèi)容主要有以下

3、兩方面： 理解任意角的概念、弧度的意義概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；掌握任意角的能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，能夠利用三角函數(shù)線判斷三，能夠利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域角函數(shù)的符號，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域 例例 1 (1)設(shè)角設(shè)角 屬于第二象限屬于第二象限， cos 2cos 2， 試判定試判定2角屬于第幾象限角屬于第幾象限 (2)求函數(shù)求函數(shù) y3tan x 3的定義域的定義域 解：解：(1)依題依題意得意得 2k2 2k(kZ)， 所以所以 k

4、42k2(kZ) 當(dāng)當(dāng) k2n(nZ)時(shí)時(shí)，2為第一象限角；為第一象限角； 當(dāng)當(dāng) k2n1(nZ)時(shí)時(shí)，2為第三象限角為第三象限角 又又 cos 2cos 20，所以所以 cos 20. 所以所以2應(yīng)應(yīng)為第二、三象限角或終邊落在為第二、三象限角或終邊落在 x 非正半軸上或非正半軸上或 y 軸上軸上 綜上所述綜上所述，2是第三象限角是第三象限角 (2)3tan x 30，即即 tan x33. 所以所以 k6xk2，所以函數(shù)所以函數(shù) y3tan x 3的定義域的定義域?yàn)闉?x k6xk2，kZ . 歸納升華歸納升華 1由由 所在象限所在象限，判斷判斷2角所在象限時(shí)角所在象限時(shí)，一般有兩種方法：一

5、一般有兩種方法：一種是利用終邊相同角的集合的幾何意義種是利用終邊相同角的集合的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合的方法確用數(shù)形結(jié)合的方法確定定2的的所屬象限；另一種方法就是將所屬象限；另一種方法就是將 k 進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論 2求函數(shù)的定義域注意數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的定義域注意數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用單位圓中三角函數(shù)線或應(yīng)用單位圓中三角函數(shù)線或函數(shù)圖象解題； 求與正切函數(shù)有關(guān)問題時(shí)函數(shù)圖象解題； 求與正切函數(shù)有關(guān)問題時(shí)， 不要忽視正切函數(shù)自身的不要忽視正切函數(shù)自身的定義域定義域 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 (1)若若 為第四象限的角為第四象限的角， 試判斷試判斷 sin(cos ) cos(sin )的符號；的符號； (2)

6、已 知 角已 知 角 的 終 邊 過 點(diǎn)的 終 邊 過 點(diǎn) P( 3cos ， 4cos ) ， 其 中其 中 2， ，求求 的正切值的正切值 解：解： (1)因?yàn)橐驗(yàn)?為第四象限角為第四象限角， 所以所以 0cos 12， 21sin 0，cos(sin )0， 所以所以 sin(cos ) cos(sin )0. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?2， ，所以所以 cos 0， 所以所以 r x2y2 9cos216cos25cos ， 故故 sin yr45， cos xr35，tan yx43. 專題二專題二 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 在知道一個(gè)角的三角函數(shù)值求這

7、個(gè)角的其他的三角函數(shù)值時(shí)在知道一個(gè)角的三角函數(shù)值求這個(gè)角的其他的三角函數(shù)值時(shí)， 要要注意題中的角的范圍注意題中的角的范圍，必要時(shí)按象限進(jìn)行討論必要時(shí)按象限進(jìn)行討論，盡量少用平方關(guān)系盡量少用平方關(guān)系，注意切化弦、注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數(shù)學(xué)思想的妙用、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用方法的運(yùn)用，在利用在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡，求值時(shí)求值時(shí)，要注意正負(fù)號的選取要注意正負(fù)號的選取 例例 2 已知已知2tan（）1tan（2）4，求求(sin 3cos ) (cos sin )的值的值 解：解：法法一：一：由已知由已知2tan 1tan 4， 所以所以 2tan

8、4(1tan )，解得解得 tan 2， 所以所以(sin 3cos )(cos sin ) 4sin cos sin23cos2 4sin cos sin23cos2sin2cos24tan tan23tan21 8434115. 法二：法二：由已知由已知2tan 1tan 4， 解得解得 tan 2，即即sin cos 2， 所以所以 sin 2cos ， 所以所以(sin 3cos )(cos sin ) (2cos 3cos )(cos 2cos ) cos2cos2sin2cos21tan2115. 歸納升華歸納升華 三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡， 求值與證明問題的依據(jù)主要是同角

9、三角函數(shù)求值與證明問題的依據(jù)主要是同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式解題中的常用技巧有：的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式解題中的常用技巧有：(1)弦切互化弦切互化，減少或減少或統(tǒng)一函數(shù)名稱；統(tǒng)一函數(shù)名稱；(2)“1”的代換的代換，如：如：1sin2 cos2 (常用于解決有關(guān)常用于解決有關(guān)正、余弦齊次式的化簡求值問題中正、余弦齊次式的化簡求值問題中)，1tan 4等；等；(3)若式子中有角若式子中有角k2，kZ，則先利用誘導(dǎo)公式則先利用誘導(dǎo)公式化簡化簡 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 (2015 福建卷福建卷)若若 sin 513，且且 為第四象限角為第四象限角，則則 tan 的值等于的值等于( ) A.125 B125 C

10、.512 D512 解析：解析：法一法一：因?yàn)椋阂驗(yàn)?為第四象限的角為第四象限的角，故故 cos 1sin2 1 51321213，所以所以 tan sin cos 5131213512. 法二法二：因?yàn)椋阂驗(yàn)?是第四象限角是第四象限角，且且 sin 513， 所以可在所以可在 的終邊上取一點(diǎn)的終邊上取一點(diǎn) P(12，5)，則則 tan yx512. 答案：答案：D 專題三專題三 三角函數(shù)的圖象及變換三角函數(shù)的圖象及變換 三角函三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)， 又是三角函數(shù)性質(zhì)數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)， 又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)的具體體現(xiàn) 在平時(shí)的考查中在平時(shí)的考查中， 主要

11、體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定析式的確定，以以及通過對圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及通過對圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 例例 3 函數(shù)函數(shù) yAsin(wx)的部分圖象如圖所示的部分圖象如圖所示，則則( ) Ay2sin 2x6 By2sin 2x3 Cy2sin x6 Dy2sin x3 解析：解析：由圖象知由圖象知T23 62，故故 T，因此因此22. 又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為 3，2 ， 所以所以 A2， 且且 232k2(kZ)， 故故 2k6(kZ)， 結(jié)合選項(xiàng)可知結(jié)合選項(xiàng)可知 y2sin 2x6.故選故

12、選A. 答案：答案：A 歸納升華歸納升華 1求解析式的方法：求解析式的方法：Aymaxymin2，kymaxymin2，2T，由由“五點(diǎn)作五點(diǎn)作圖法圖法”中方法令中方法令x0，2，32或或 2求求 . 2圖象圖象變換中應(yīng)注意方向變化與解析式加減符號變化相對應(yīng)變換中應(yīng)注意方向變化與解析式加減符號變化相對應(yīng) 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 函數(shù)函數(shù) ysin x2的圖象沿的圖象沿 x 軸向左平移軸向左平移 個(gè)單位長度個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心是后得到函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心是( ) A(0，0) B(，0) C. 2，0 D. 2，0 解析：解析： 函數(shù)函數(shù) ysin x2的圖象沿的圖象沿 x 軸

13、向左平移軸向左平移 個(gè)單位長度后得到個(gè)單位長度后得到函數(shù)函數(shù) ysin 12（x） sin 12x2 cos 12x 的圖象的圖象，它的一個(gè)對稱中心是它的一個(gè)對稱中心是(，0) 答案：答案：B 專題四專題四 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)應(yīng)掌握重點(diǎn)應(yīng)掌握 ysin x，ycos x，ytan x 的定的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關(guān)性質(zhì)義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上掌握在此基礎(chǔ)上掌握函數(shù)函數(shù) yAsin(x)，yAcos(x)及及 yAtan(x)的相關(guān)性的相關(guān)性質(zhì)在研究其相關(guān)性質(zhì)質(zhì)在研究其相關(guān)性質(zhì)時(shí)，將時(shí)，將x 看成一個(gè)

14、整體看成一個(gè)整體，利用整體代換利用整體代換思想解題是常見的技巧思想解題是常見的技巧 例例 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2sin 2x6a1(其中其中 a 為常數(shù)為常數(shù)) (1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)若若 x 0，2時(shí)時(shí)，f(x)的最大值為的最大值為 4，求求 a 的值；的值； (3)求求 f(x)取最大值時(shí)取最大值時(shí) x 的取值集合的取值集合 解：解：(1)由由22k2x622k，kZ，解得解得3k x 6 k ， k Z ， 所 以 函 數(shù)所 以 函 數(shù) f(x) 的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 3k，6k (kZ)，由由22k2x6322k，

15、kZ，解得解得6kx23k，kZ， 所以函數(shù)所以函數(shù) f(x)的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為 6k，23k (kZ) (2)因?yàn)橐驗(yàn)?0 x2，所以所以62x676， 所以所以12sin 2x61， 所以所以 f(x)的最大值為的最大值為 2a14，所以所以 a1， (3)當(dāng)當(dāng) f(x)取最大值時(shí)取最大值時(shí)，2x622k， 所以所以 2x32k，所以所以 x6k，kZ. 所以當(dāng)所以當(dāng) f(x)取最大值時(shí)取最大值時(shí)，x 的取值集合是的取值集合是 x x6k，kZ . 歸納升華歸納升華 1 形如形如 yAsin(x)k 單調(diào)區(qū)間求法策略： 可把單調(diào)區(qū)間求法策略： 可把“x”看作一個(gè)整體看作一個(gè)整體，

16、代入正弦函數(shù)的相應(yīng)區(qū)間求代入正弦函數(shù)的相應(yīng)區(qū)間求解解 2 求形如求形如 yAsin(x)k 的值域和最值時(shí)的值域和最值時(shí)， 先求復(fù)合角先求復(fù)合角“x”的范圍的范圍，再利用再利用 ysin x 的性質(zhì)來求解的性質(zhì)來求解 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 (2014 安徽卷安徽卷)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)(xR)滿足滿足 f(x)f(x)sin x，當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)時(shí)，f(x)0，則則 f 236( ) A.12 B.32 C0 D12 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，所以所以 f(x)的周期的周期 T2， 又因?yàn)楫?dāng)又因?yàn)楫?dāng) 0 x時(shí)時(shí)，f(x)0，所以所以

17、f 560， 即即 f 6 f 6sin 60， 所以所以 f 612， 所以所以 f 236f 46f 612. 答案：答案：A 專題五專題五 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想 化歸思想貫穿本章的始終化歸思想貫穿本章的始終， 在三角函數(shù)的恒等變形中在三角函數(shù)的恒等變形中， 同角關(guān)系同角關(guān)系式和誘式和誘導(dǎo)公式常化繁為簡導(dǎo)公式?；睘楹啠悶橥悶橥?，弦切互化；在研究三角函數(shù)的弦切互化；在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)圖象與性質(zhì)時(shí)， 常把函數(shù)常把函數(shù) yAsin(x)化歸為簡單的化歸為簡單的 ysin x 來研來研究這些均體現(xiàn)三角函數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法究這些均體現(xiàn)三角函數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方

18、法 例例 5 求函數(shù)求函數(shù) y12sin 423x 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間 解：解：將原函數(shù)化為將原函數(shù)化為 y12sin 23x4. 由由 2k223x42k2(kZ)， 得得 3k38x3k98(kZ)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減 由由 2k223x42k32(kZ)， 得得 3k98x3k218(kZ)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增 故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 3k38，3k98 (kZ)， 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為 3k98，3k218 (kZ) 歸納升華歸納升華 1求形如函數(shù)求形如函數(shù) yAsin(x)，(0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)：先把此函的單調(diào)區(qū)間時(shí)：先把

19、此函數(shù)化為數(shù)化為 yAsin(x)的形式后的形式后， 再利用函數(shù)再利用函數(shù) ysin x 的單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間來求解是常用策略間來求解是常用策略，其目的是使其目的是使 x 的系數(shù)為正數(shù)是關(guān)鍵的系數(shù)為正數(shù)是關(guān)鍵 2 在求形如在求形如 yAsin2xBsin xC 的值域或最值時(shí)的值域或最值時(shí)， 常令常令 tsin x 轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)來求解轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)來求解 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 已知已知|x|4，求函數(shù)求函數(shù) f(x)cos2xsin x 的最小值的最小值 解：解：yf(x)cos2xsin xsin2xsin x1. 令令 tsin x，因?yàn)橐驗(yàn)閨x|4，所以所以22t22. 則則 yt2t1 t12254 22t22， 所以當(dāng)所以當(dāng) t22時(shí)時(shí)，即即 x4時(shí)時(shí)，f(x)有最小值有最小值，且最小值為且最小值為 22122541 22.