高等數(shù)學(xué)窮級數(shù)

第八章無窮級數(shù)第八章無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)函數(shù)項級數(shù) 結(jié)束結(jié)束常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法函數(shù)展開為冪級數(shù)函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一.無窮級數(shù)的概念二.級數(shù)收斂的必要條件三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 一.無窮級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列 un:u1,u2,un,nnnuuuu211為一個無窮級數(shù),簡稱為級數(shù).稱 un 為級數(shù)的一般項或通項.則稱表達式 .,1數(shù)則稱該級數(shù)為常數(shù)項級均為常數(shù)的每一項若級數(shù)nnnuu .)(),(:1數(shù)項級數(shù)為函則稱級數(shù)函數(shù)一個變量的若級數(shù)的每一項均為同nnnnxuxuu下列各式均為常數(shù)項級數(shù);214121211nnn;211nnn;)1(1111)1(111nnn.cos2cos1coscos1nnn例1下列各式均為函數(shù)項級數(shù),)1(1)1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa.1|x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx例22.級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)1nnu的前 n 項之和：,211nnkknuuuuS稱為級數(shù)的部分和.若SSnnlim存在,則稱級數(shù)1nnu收斂.S 稱為級數(shù)的和：.1Sunn若nnSlim不存在(包括為),1nnu發(fā)散.則稱級數(shù)討論等比級數(shù)的斂散性.11nnar等比級數(shù)的部分和為：nkknarS11當公比|r|1 時,.1)1(limlimrraSnnnn當公比 r=1時,.limlimnaSnnnSn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù)當公比當公比|r|1 時時,等比級數(shù)收斂；等比級數(shù)收斂；當公比 r=1時,當公比當公比|r|1 時時,等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述,.lim ,不存在故nnS討論級數(shù)的斂散性.1)12)(12(1nnn12112121)12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n解解例4而121121limlimnSnnn故21)12)(12(11nnn21即該級數(shù)收斂,其和為.21S二.級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)1nnu收斂,則必有.0limnnu定理)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS證證設(shè) ,1Sunn.lim SSnn則由于,1 1)1(lim|lim1nnunnnn故該級數(shù)發(fā)散.,0limnnu解解例5 .1)1(11的斂散性判別級數(shù)nnnn證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級數(shù)的部分和有：，11S，211122 SS4131211224SS證證21211，221 201例61 .1312111nnn328SS2318171615141312118171615141312112121211?212kSk由數(shù)學(xué)歸納法,得，212kSk k=0,1,2,而21limkk故 nnSlim不存在,即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 若 c 0 為常數(shù),則1nncu1nnu與1.性質(zhì)性質(zhì) 1有相同的斂散性,且 .11nnnnuccu證證1nnu的部分和為，nkknuS11nncu的部分和為,11nnkknkkncSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim同時收斂或同時發(fā)散,即與1nnu1nncu且有 .11nnnnuccu2.性質(zhì)性質(zhì) 2 ,2111SSvunnnn和其和分別為收斂與若且也收斂則級數(shù) ,)(1nnnvu211)(SSvunnn .11nnnnvu證證1)(nnnvu的部分和為：nkkknvuS1)()()(2121nnvvvuuu故nnSS21)()()(2211nnvuvuvu2121limlimSSSSnnnn即 級數(shù)1)(nnnvu收斂,且21111)(SSvuvunnnnnnn)(limlim21nnnnnSSS 因為等比級數(shù),31 2111收斂與nnnn所以級數(shù).31211也收斂nnn例7問 題 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的問 題 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定.)1()1(111之和與看看nnnn在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后,所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3.性質(zhì)性質(zhì) 3kmmmkuuuS21kmmmmuuuuuu2121)(mkmSS證證)(21muuu設(shè)級數(shù)1nnu的部分和為 Sn,去掉級數(shù)的前面 m 項后得到的級數(shù)1mkku的部分和為:kSmkmkkkSSSlimlim由于 Sm 當 m 固定時為一常數(shù),所以故 級數(shù)1nnu與級數(shù)1mkku。有相同的斂散性級數(shù)仍然收斂,且其和不變.對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運算中,不能隨意加上或去掉括 號,因為這樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4.性質(zhì)性質(zhì) 4問 題 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？不一定)11()11(看看問 題 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定1111 看看問 題 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散,原級數(shù)是否也發(fā)散？原級數(shù)也發(fā)散加括號可引起收斂,去括號可引起發(fā)散.