考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

第一章． 函數(shù) 變量。 在函數(shù)的概念之前，首先人們從對(duì)事物的變化發(fā)展的觀察中，抽象出來變量的概念，在 數(shù)學(xué)的歷史上，正是變量的出現(xiàn)導(dǎo)致代數(shù)學(xué)的發(fā)展。因?yàn)樵跊]有變量概念的時(shí)候，人們進(jìn)行 算術(shù)運(yùn)算，只會(huì)做到對(duì)具體的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算。每次遇到稍微不同一些的數(shù)值，都必須很費(fèi)勁 地重新考慮計(jì)算方法，只有在抽象出來變量的概念后，才能對(duì)一般的數(shù)值計(jì)算抽象出來一般 的計(jì)算方法，從而徹底地解決數(shù)值地計(jì)算問題。而代數(shù)學(xué)正是為了發(fā)展一般的數(shù)值計(jì)算方法 而發(fā)展起來的。因此可以說變量概念的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的第一個(gè)里程碑。 函數(shù)。 自然界里的觀察量都可以看成是變量，然后我們從自然界里歸納出的自然規(guī)律常常表現(xiàn) 為變量與變量之間的依賴關(guān)系。而函數(shù)實(shí)際上就是為了表述這些變量與變量之間的依賴關(guān)系 而抽象出來的數(shù)學(xué)觀念。 我們常常把相互之間具有依賴關(guān)系的一些變量區(qū)分為兩類，一類被稱為自變量，一類被 稱為因變量。因此這個(gè)依賴關(guān)系就可以理解為因變量如何被自變量決定的關(guān)系。 函數(shù)從一般的依賴關(guān)系中抽象出三個(gè)要素作為函數(shù)的基本要素。首先就是依賴 關(guān)系本 身，也即一個(gè)或幾個(gè)變量（自變量）是如何決定另一個(gè)變量（因變量）的，這種決定關(guān)系還 必須是唯一的，因?yàn)槲覀冄芯康倪@種依賴關(guān)系總是一種具有確定性的關(guān)系。也就是說，從一 些自變量的數(shù)值，能夠唯一地得到另一個(gè)因變量的數(shù)值。這是函數(shù)概念里的一個(gè)關(guān)鍵所在。 也是初學(xué)者常常犯錯(cuò)誤的地方。 要表示一種依賴關(guān)系，可以有很多的方式。 對(duì) 最直截了當(dāng)?shù)木褪且灰涣谐鲎兞恐g的所對(duì)應(yīng)的數(shù)值。例如我們常用的數(shù)學(xué)用表，列車 時(shí)刻表，稅單，等第，這種表示方法的好處就是一目了然，能讓你很快的查到你所需要的變 量的值，甚至是精確的值，而無須進(jìn)行另外的計(jì)算，缺點(diǎn)就是只能處理很有限的數(shù)值， 于 可以取大量，甚至無窮的數(shù)值的變量，這種方法就不行了。另外還不能容易地讓人理解變量 之間地對(duì)應(yīng)規(guī)律。 要想能容易地讓人理解變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，可以使用圖示的方式。 對(duì)于一元函數(shù) y=f（x），它的變量相應(yīng)地在平面上的直角坐標(biāo)系的 X 軸和 Y 軸上取值， 在一定條件下，就能得一個(gè)幾何圖象，表達(dá)了函數(shù)的數(shù)值分布。用圖來表示變量之間的依賴 關(guān)系，可以很直觀地說明這種依賴關(guān)系的很多性質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們也應(yīng)該善于 通過畫圖來培養(yǎng)對(duì)于抽象概念的直觀能力，而初學(xué)者往往忽略這點(diǎn)，甚至不屑于此，這是我 們應(yīng)該極力避免的。圖示的缺點(diǎn)就是不能精確地給出數(shù)值，也不能精確地表達(dá)函數(shù)的性質(zhì)。 最精確的表達(dá)方式是給出函數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式。有了解析表達(dá)式，就可以對(duì)已知數(shù)值 進(jìn)行確定的數(shù)學(xué)計(jì)算，從而得到未知量的精確數(shù)值。更進(jìn)一步，通過對(duì)解析表達(dá)式的數(shù)學(xué)分 析，可以得到函數(shù)性質(zhì)的精確的表達(dá)。而我們學(xué)習(xí)微積分的主要目的，就是掌握這種分析方 法。 當(dāng)然還可以有其他的表示函數(shù)的依賴關(guān)系的方法，總之只要能說明一個(gè)變量如何由另外 的變量唯一決定就行。 表示了依賴關(guān)系之后，還必須說明其中自變量的取值范圍。因?yàn)樵趯?shí)際問題中，有時(shí)候 并不能從依賴關(guān)系本身就得到自變量的取值范圍。因此還必須單獨(dú)規(guī)定。這個(gè)取值范圍被稱 為定義域。 有了自變量的取值范圍，加上函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以得到因變量的取值范圍，這就是 函數(shù)的第三個(gè)要素，被稱為值域。 總結(jié)一下，函數(shù)概念最關(guān)鍵的地方，就是 它的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說依賴關(guān)系，必須是因 變量由自變量唯一確定。盡管我們可以考慮一對(duì)多的多值函數(shù)，比方說解析幾何里的一些曲 線方程，要對(duì)它們應(yīng)用微積分的方法，那種情形必須給予特別的處理，或者把它們分割為多 個(gè)函數(shù)，總之為了統(tǒng)一地發(fā)展我們后面要討論地微積分技術(shù)，我們總是堅(jiān)持這一點(diǎn)為函數(shù)的 必要條件。 第二點(diǎn)需要特別用心的地方就是根據(jù)函數(shù)關(guān)系由定義域求值域?；蛘呤侵皇歉鶕?jù)函數(shù)關(guān) 系的數(shù)學(xué)表達(dá)式本身，來求出具有數(shù)學(xué)意義的定義域和值域，或者還要求具有實(shí)際意義而不 只是具有數(shù)學(xué)意義的定義域和值域。這就要求我們熟練掌握各種函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，特別是我 們下面要討論的幾種基本初等函數(shù)的性質(zhì)。我們將在下面結(jié)合例題更詳細(xì)地討論這點(diǎn)，并且 希望讀者多作練習(xí)。 并不是說我們需要把一個(gè)函數(shù)用某種方式給出，就可以說是已經(jīng)掌握了這個(gè)函數(shù)。因?yàn)? 對(duì)于一個(gè)函數(shù)的了解，并不是知道了這個(gè)函數(shù)所代表的所有數(shù)值對(duì)應(yīng)，就能判斷這個(gè)函數(shù)的 行為與性質(zhì)，在實(shí)際問題當(dāng)中，我們更加需要得到的是一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)槟撤N變化規(guī)律 所具有的性質(zhì)，往往表達(dá)了某個(gè)概念，而我們?nèi)祟悓?duì)于事物的了解最終是基于概念的理解， 而不是一堆數(shù)據(jù)本身。 下面我們就來討論函數(shù)所可能具有的幾種性質(zhì)。這幾種性質(zhì)都具有非常直觀的意義，只 需要用初等的方式就可以表達(dá)出來。 （一）函數(shù)的單調(diào)性。 從直觀的感覺來看，所謂單調(diào)表明了 函數(shù)在某點(diǎn)附近具有平滑的變化， 如果把函數(shù)的 自變量與因變量分別在平面上的直角坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸上取值，得到函數(shù)的圖象，就可以 看到函數(shù)在某點(diǎn)附近的單調(diào)性，意味著函數(shù)在這點(diǎn)附近沒有劇烈的震蕩，或者這點(diǎn)左邊的點(diǎn) 的函數(shù)值比右邊的點(diǎn)的函數(shù)值大，或者反過來右邊的點(diǎn)的函數(shù)值比左邊的點(diǎn)的函數(shù)值大。這 樣在一個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都具有同樣的一個(gè)性質(zhì)，就可以定義這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性。 精確地說，函數(shù) y=f（x）在區(qū)間 K 內(nèi)的任意兩點(diǎn) a，b，只要 a<b,就有 f(a)<f(b).或者 是 f(a)>f(b).那么就稱這個(gè)函數(shù)在區(qū)間 K 具有單調(diào)性，如果是 f(a)<f(b)的情形，則稱為單調(diào) 增加,如果是 f(a)>f(b)的情形，則稱為是單調(diào)減少。這是嚴(yán)格的情形，如果上面的大于和小 于分別是大于或等于和小于或等于，則是非嚴(yán)格的單調(diào)性。 注意上面定義里的任意兩個(gè)字，應(yīng)該說這是一個(gè)很嚴(yán)格的條件。也是單調(diào)性定義里的關(guān) 鍵所在。 設(shè)想一下，如果我們有一個(gè)函數(shù)，完全由所有的數(shù)值的對(duì)應(yīng)來表達(dá)，那么要判斷這個(gè)函 數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，則需要對(duì)這個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值順序進(jìn)行比較，顯然，如果是對(duì) 于一般的函數(shù)，這是非常困難的事。不過如果是用我們常見的一般的解析表達(dá)式給出的函數(shù)， 通過直接對(duì)解析表達(dá)式進(jìn)行比較，則是非常容易判斷的。這里的關(guān)鍵是我們常見的一般的解 析表達(dá)式給出的是變化比較平滑的函數(shù)，而如果函數(shù)的圖象如下所示，則只有在極其小的區(qū) 間內(nèi)才有可能考慮函數(shù)的單調(diào)性。 （二）函數(shù)的有界性； 從直觀的感覺來看，函數(shù)的有界性就是函數(shù)圖形在某個(gè)特定范圍或者是在整個(gè)定義域的 上下“高度”有限。或者就說是函數(shù)在某個(gè)特定區(qū)間或者在整個(gè)定義域都不存在函數(shù)取值為 正無窮大或負(fù)無窮大的點(diǎn)。 精確地說，就是取函數(shù) f（x）有定義的一個(gè)集合 K，如果存在一個(gè)確定的正數(shù) M，無 論 M 可能有多么大，只要對(duì)于集合 K 內(nèi)的所有的點(diǎn) x，都有 f ( x)  M  成立，那么就稱函 數(shù) f（x）在集合 K 上有界。 注意上面定義中函數(shù)外面的絕對(duì)值符號(hào)，這表明有界性是同時(shí)在上下加以限制的。 這個(gè)性質(zhì)是非常好理解的。之所以提出這么一個(gè)性質(zhì)出來，倒不是因?yàn)橛薪缧跃哂惺裁? 特別的趣味，而是反過來，不具有有界性的函數(shù)常常是我們必須加以注意和分析的對(duì)象，因 此我們提出函數(shù)的有界性，正是為了用于判斷函數(shù)是否存在無界的性質(zhì)。 從上面的定義可以看到，我們是無法直接應(yīng)用這個(gè)定義來證明某個(gè)函數(shù)是否有界的，因 為這是一個(gè)存在性定義，我們必須通過其他的方法，來找到這么一個(gè) M，才能得到證明， 而如何找到這個(gè) M，則是這個(gè)定義所沒有給出的。 另外，對(duì)于這個(gè) M，只是要求其存在性，而沒有要求其唯一性，實(shí)際上，這個(gè) M 不可 能具備唯一性，因?yàn)橹灰嬖谝粋€(gè) M 滿足條件，由于 M 是一個(gè)有限大小的正數(shù)，那么任何 一個(gè)比 M 大的數(shù)同樣可以作為函數(shù)的界。 下面是用圖象表示的有界性的兩種典型情況： （三）函數(shù)的奇偶性； 同樣可以從圖象方面得到對(duì)于奇偶性的很好的理解，就是看在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，整個(gè)函數(shù)圖 形是否具有對(duì)于 Y 軸的鏡象對(duì)稱或者對(duì)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱性。這樣我們至少可以知道，首 先這個(gè)函數(shù)的定義域必須是 X 軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。 精確地說，就是取函數(shù)有定義的一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間（-L，L）， （1） （1） 如果對(duì)于在區(qū)間（-L，L）內(nèi)任意的一點(diǎn) x，都有 f（-x） =-f（x），那么 f（x）就是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的奇函數(shù)。 （2） （2） 如果對(duì)于在區(qū)間（-L，L）內(nèi)任意的一點(diǎn) x，都有 f（-x） =f（x），那么 f（x）就是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的偶函數(shù)。 我們可以看到，這個(gè)定義是與有界性的定義不同的一種定義方式，就是我們一般可以 直接應(yīng)用這個(gè)定義來證明某個(gè)函數(shù)的奇偶性，這種定義方式就是屬于構(gòu)造性的定義方式。也 就是直接給出了符合定義的對(duì)于如何構(gòu)造出來。在今后的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們應(yīng)該注意到這兩種 定義方式的差別所在。 這里我們還應(yīng)該體會(huì)到在坐標(biāo)系里，對(duì)函數(shù)進(jìn)行反射變化實(shí)際上就是進(jìn)行如下變量代 換： 關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱變換： î y = - y` ì x = - x` í î  y = y 關(guān)于 Y 軸的鏡面反射變換： ì x = - x` í 而如果在這樣的變換之下，函數(shù)的形式并沒有變化，那么對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱變 換，就是奇函數(shù)；對(duì)于 Y 軸的鏡面反射變換，就是偶函數(shù)。 那么我們?cè)谧C明某個(gè)函數(shù)是否具有奇偶性，或者是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，就可以直接應(yīng) 用這個(gè)變量變換，從而得到判據(jù)。 （四）函數(shù)的周期性。 從直觀上來看，就是整個(gè)函數(shù)圖形是否可以通過沿著 X 軸，無論是朝哪個(gè)方向，平移 一個(gè)有限大小的距離，得到的函數(shù)圖象與原來的函數(shù)圖象可以完全重合。也就是說具有沿著 X 軸的平移不變性質(zhì)。把這個(gè)意思精確表達(dá)出來，就是周期性的定義： 對(duì)于實(shí)數(shù)上定義的函數(shù) y=f（x），如果存在一個(gè)非零的實(shí)數(shù) a，使得 f（x）=f（x+a） 總是成立，那么就說函數(shù) y=f（x）是實(shí)數(shù)上的周期函數(shù)，周期為 a。 注意，這里 a 的正負(fù)無所謂，因?yàn)楹瘮?shù)在整個(gè) X 軸上定義，a 為正數(shù)，只是表明函數(shù)沿 著 X 軸向右平移 a 的距離，a 為負(fù)數(shù)，只是表明函數(shù)沿著 X 軸向左平移 a 的距離，這兩種平 移方式是等價(jià)的。 可以看到，嚴(yán)格的平移不變性要求函數(shù)在整個(gè) X 軸上都有定義，否則，進(jìn)行平移必定 會(huì)使得函數(shù)超出本來的定義域。不過，在某些情況下，也可以定義在有限區(qū)間內(nèi)的周期性， 只是這時(shí)候就不能應(yīng)用這個(gè)定義了，而只能具體地規(guī)定函數(shù)有限的周期性。一般我們不考慮 這樣的函數(shù)。 在周期性的定義里，我們還可以看到，這個(gè)定義也是屬于存在性定義，也就是說，直接 從定義出發(fā)，我們無法得到具體的周期，盡管要證明一個(gè)函數(shù)的周期性，并不一定需要求出 具體的周期 a 是多少，但無論如何，我們必須從別的地方入手來證明周期的存在性。 周期函數(shù)的一個(gè)特例是 y=a，其中 a 是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)函數(shù)的周期是任意的實(shí)數(shù)。 函數(shù)的反函數(shù)。 我們從函數(shù)的定義可以很自然地得到非常有意義的反函數(shù)的概念。 所謂函數(shù)無非就是自變量與因變量的數(shù)值對(duì)應(yīng)，因此這種對(duì)應(yīng)也可以在相反的方向上成 立，即因變量的數(shù)值與自變量的數(shù)值的對(duì)應(yīng)。當(dāng)然，如果要想使得得到的這個(gè)新的數(shù)值對(duì)應(yīng) 仍然還是一個(gè)函數(shù)，就必須還滿足一個(gè)條件，就是因變量的每一個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè) 自變量的數(shù)值，再把這個(gè)條件和本來的要求自變量的每一個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)于因變量的唯一一個(gè) 數(shù)值加起來，就得到了一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：自變量和因變量必須一一對(duì)應(yīng)。 現(xiàn)在我們就可以形式地表達(dá)反函數(shù)的概念如下： 對(duì)于一個(gè)函數(shù) y=f（x），如果對(duì)于每一個(gè)因變量 y 的值，只存在唯一的一個(gè)自變量的值 和它對(duì)應(yīng)，那么可以把這種從因變量到自變量的關(guān)系看成一個(gè)新的函數(shù)：x=g（y）。這個(gè)新 的函數(shù)就是函數(shù) y=f（x）的反函數(shù)。 從直觀上來看，就是把一個(gè)函數(shù)對(duì)直線 x=y 進(jìn)行鏡象反射所得到的函數(shù)。 注意：初學(xué)者常常在這里產(chǎn)生很多混亂的印象。 首先相互作為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，實(shí)際上是對(duì)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)值集合之間所 存在的關(guān)系的兩種看法，也就是說，是兩種不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不能認(rèn)為是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。 因此 y=f（x）的反函數(shù)不能寫成 x=f（y），函數(shù)符號(hào) f（），表示一個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 那么 y=f（x）與 x=f（y）就只是對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，此外是完全沒有任何關(guān)系的兩個(gè)函數(shù)。如 下圖所示： 如果我們?cè)诤瘮?shù) y=f（x）上取一點(diǎn)（a，b），即有 b=f（a），如果再取 x=b，則得到 c=f （b），我們可以看到（a，b）和（b，c）這兩點(diǎn)，并非關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，也就是說，a 不 等于 c，即當(dāng) a 通過一個(gè)函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)于 b 時(shí)，b 通過相應(yīng)的反函數(shù)關(guān)系并不是對(duì)應(yīng)于 a， 要使得在這種情況下，有 a=c，只有唯一的函數(shù) y=x 滿足這個(gè)條件。 下面我們開始討論具體的函數(shù)，它們是我們?cè)谶@門課程里最主要的研究對(duì)象。也是我們 進(jìn)一步研究更復(fù)雜的函數(shù)的基礎(chǔ)，盡管讀者可能已經(jīng)在高中階段學(xué)習(xí)過這些函數(shù)，但仍然需 要用更深刻的觀念來把握它們的具體性質(zhì)。鑒于它們的重要性，我們必須仔細(xì)地學(xué)習(xí)它們， 下面分別地根據(jù)圖形進(jìn)行分析。 初等函數(shù)。 所謂初等函數(shù)并非一個(gè)很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?，一般說來，就是指以下五種基本初等函數(shù)，以及 通過對(duì)這五種初等函數(shù)進(jìn)行有限運(yùn)算與有限復(fù)合而得到的任意函數(shù)。這只是從一般的構(gòu)成方 法來說的，并非從應(yīng)該具備什么樣的限制這方面來說的。 下面我們從構(gòu)成初等函數(shù)的基本組成部分開始討論。 （1）冪函數(shù)； 冪函數(shù)的一般形式為 y  xa 。 如果 a 取非零的有理數(shù)是比較容易理解的，不過初學(xué)者對(duì)于 a 取非零的無理數(shù)，則不太 容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數(shù)為無理數(shù)的問題，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù) 連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識(shí)。因此我們只要接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可。 對(duì)于 a 的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性： p ，q 和 p 都是整數(shù)，則 xa = xq  p = xq ，而如果     p ， 首先我們知道如果  a = q                                           q a =- p x  = x   ，因此可以看到 x 所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是 0， 則  a 1 p  q 一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道： 排除了為 0 與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于 x>0，則 a 可以是任意實(shí)數(shù)； 排除了為 0 這種可能，即對(duì)于 x<0 和 x>0 的所有實(shí)數(shù)，p 不能是偶數(shù)； 排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于 x 為大于且等于 0 的所有實(shí)數(shù)，a 就不能是負(fù)數(shù)。 總結(jié)起來，就可以得到當(dāng) a 為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下： 如果 a 為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?#160;0 的所有實(shí)數(shù)； 如果 a 為負(fù)數(shù)，則 x 肯定不能為 0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù) p 的奇偶性來確 定，即如果同時(shí) p 為偶數(shù)，則 x 不能小于 0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?#160;0 的所有實(shí)數(shù)；如果 同時(shí) p 為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?#160;0 的所有實(shí)數(shù)。 在 x 大于 0 時(shí)，函數(shù)的值域總是大于 0 的實(shí)數(shù)。 在 x 小于 0 時(shí)，則只有同時(shí) p 為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。 而只有 a 為正數(shù)，0 才進(jìn)入函數(shù)的值域。 由于 x 大于 0 是對(duì) a 的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情 況. 可以看到： （1）所有的圖形都通過（1，1）這點(diǎn)。 （2）當(dāng) a 大于 0 時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而 a 小于 0 時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。 （3）當(dāng) a 大于 1 時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng) a 小于 1 大于 0 時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。 （4）當(dāng) a 小于 0 時(shí)，a 越小，圖形傾斜程度越大。 （5）a 大于 0，函數(shù)過（0，0）；a 小于 0，函數(shù)不過（0，0）點(diǎn)。 （6）顯然冪函數(shù)無界。 （2）指數(shù)函數(shù)； 指數(shù)函數(shù)的一般形式為 y = a x ，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得 x 能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得a > 0. 如圖所示為 a 的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。 可以看到： （1） （1） 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是 a 大于 0，對(duì)于 a 不大于 0 的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予 考慮。 （2） （2） 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?#160;0 的實(shí)數(shù)集合。 （3） （3） 函數(shù)圖形都是下凹的。 （4） （4） a 大于 1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a 小于 1 大于 0，則為單調(diào)遞減的。 （5） （5） 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng) a 從 0 趨向于無窮大的過程中（當(dāng)然 不能等于 0），函數(shù)的曲線從分別接近于 Y 軸與 X 軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù) 的位置，趨向分別接近于 Y 軸的正半軸與 X 軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。 其中水平直線 y=1 是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。 （6） （6） 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于 X 軸。 （7） （7） 函數(shù)總是通過（0，1）這點(diǎn)。 （8） （8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界。 （3）對(duì)數(shù)函數(shù)； 對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 y = loga x ，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù) y = a x 的反函數(shù)。因此 指數(shù)函數(shù)里對(duì)于 a 的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。 下圖給出對(duì)于不同大小 a 所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線 y=x 的對(duì)稱圖形，因?yàn)? 它們互為反函數(shù)。 （1） （1） 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?#160;0 的實(shí)數(shù)集合。 （2） （2） 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。 （3） （3） 函數(shù)總是通過（1，0）這點(diǎn)。 （4） （4） a 大于 1 時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a 小于 1 大于 0 時(shí)，函數(shù)為 單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。 （5） （5） 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無界。 （4）三角函數(shù)； 三角函數(shù)分成 6 種形式，都是典型的周期函數(shù)： 正弦函數(shù)：y=sinx; 余弦函數(shù)：y=cosx; 正切函數(shù)：y=tgx; 余切函數(shù)：y=ctgx; 正割函數(shù)：y=secx; 余割函數(shù)：y=cscx. 下面分別結(jié)合函數(shù)的圖形來討論它們的性質(zhì)。 正弦函數(shù)：y=sinx 與余弦函數(shù)：y=cosx： 下面是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖形： 可以看到： （1） （1） 這兩種函數(shù)的周期都是 2p 。 p （2） （2） 余弦函數(shù) y=cosx 沿著 X 軸的正方向平移 2 ，就與正弦函數(shù) y=sinx 完全 重合。 （3） （3） 它們的定義域都是實(shí)數(shù)。 （4） （4） 它們的值域都是大于等于-1，小于等于 1。 （5） （5） 它們都是有界的。 （6） （6） 正弦函數(shù)為奇函數(shù)。 （7） （7） 余弦函數(shù)為偶函數(shù)。 正切函數(shù)：y=tgx，余切函數(shù)：y=ctgx： 下圖中，粗線是正切函數(shù)的圖形，細(xì)線是余切函數(shù)的圖形，從圖形可以看到： （1） （1） 它們都是周期函數(shù)，周期都是p 。 p （2） （2） 正切函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上，除了 2  + kp , k = 0,±1,±2,...  這些點(diǎn)以 外的所有點(diǎn)的集合。 （3） （3） 余切函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上，除了 kp , k = 0,±1,±2,... 這些點(diǎn)以外的 所有點(diǎn)的集合。 （4） （4） 它們的值域都是實(shí)數(shù)集合。 （5） （5） 在兩個(gè)間斷點(diǎn)之間，正切函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而余弦函數(shù)是單調(diào)遞減 函數(shù)。 p （6） 正切函數(shù)無限趨向于直線 x= 2  + kp , k = 0,±1,±2,...  。 （7）   余切函數(shù)無限趨向于直線 x= k  , k = 0,±1,±2,... 。 p （8） 它們都是無界函數(shù)。 正割函數(shù)：y=secx，余割函數(shù)：y=cscx： 下面的圖中，粗線是正割函數(shù)的圖形，細(xì)線是余割函數(shù)的圖形。從圖可以看到： （1） 它們都是周期函數(shù)，周期都是p 。 p （2） 正割函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上，除了 2  + kp , k = 0,±1,±2,...  這些點(diǎn)以外的所有 （3）   余割函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上，除了 k  , k = 0,±1,±2,... 這些點(diǎn)以外的所有點(diǎn)的 點(diǎn)的集合。 p 集合。 （4） 它們的值域都是實(shí)數(shù)集合里大于 1 和小于-1 的實(shí)數(shù)集合。 p （5） 正割函數(shù)無限趨向于直線 x= 2  + kp , k = 0,±1,±2,...  。 （6）   余割函數(shù)無限趨向于直線 x= k  , k = 0,±1,±2,... 。 p （7） 它們都是無界函數(shù)。 （8） 正割函數(shù)為偶函數(shù)。 （9） 余割函數(shù)為奇函數(shù)。 （5）反三角函數(shù)； 6 種三角函數(shù)都有相應(yīng)的反函數(shù)，稱為反三角函數(shù)，它們是： 反正弦函數(shù)：y=arcsinx; 反余弦函數(shù)：y=arccosx; 反正切函數(shù)：y=arctgx; 反余切函數(shù)：y=arcctgx; 反正割函數(shù)：y=arcsecx; 反余割函數(shù)：y=arccscx. 由于 6 種三角函數(shù)都是周期函數(shù)，因此從嚴(yán)格的意義上來講，它們不存在反函數(shù)，而只 有把它們的定義域進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗埔院?，才可以說是存在反函數(shù)。反過來，也可以說是對(duì)反 三角函數(shù)的值域進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗啤? 對(duì)于正弦函數(shù)，正切函數(shù)，余割函數(shù)，要構(gòu)造相應(yīng)的反函數(shù)，值域一般取為 [- p 2 p ,+ ] 2 。 對(duì)于余弦函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)，要構(gòu)造相應(yīng)的反函數(shù)，值域一般取為[0, p ] 。 這樣我們就得到了滿足函數(shù)定義的反三角函數(shù)，下面我們分別結(jié)合函數(shù)的圖形進(jìn)行討 論。 反正弦函數(shù)：y=arcsinx，反余弦函數(shù)：y=arccosx。 在下圖中，粗線為 y=arcsinx，細(xì)線為 y=arccosx。可以看到： [-  p （1） （1） 反正弦函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，值域?yàn)? p ,+ ] 2  2 。 （2） （2） 反余弦函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，值域?yàn)?#160;[0, p ]  。 （3） （3） 反正弦函數(shù)為單調(diào)遞增的；反余弦函數(shù)為單調(diào)遞減的。 （4） （4） 它們都是有界的。 （5） （5） 反正弦函數(shù)為奇函數(shù)。 反正切函數(shù)：y=arctgx，反余切函數(shù)：y=arcctgx： 在下圖中，粗線為 y=arctgx，細(xì)線為 y=arcctgx?？梢钥吹剑? （1） （1） 正切函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集合，值域?yàn)? [- p 2 p ,+ ] 2 。 （2） （2） 反余切函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集合，值域?yàn)閇0, p ]  。 （3） （3） 反正切函數(shù)為單調(diào)遞增的；反余切函數(shù)為單調(diào)遞減的。 2  , y = （4） （4） 反正切函數(shù)無限趨向于 y =- p p 2 這兩條直線。反余切函數(shù)無限 地趨向于 y = 0, y = p 這兩條直線。 （5） （5） 它們都是有界的。 （6） （6） 反正切函數(shù)為奇函數(shù)。 反正割函數(shù)：y=arcsecx，反余割函數(shù)：y=arccscx： 在下圖中，粗線為 y=arcsinx，細(xì)線為 y=arccosx?？梢钥吹剑? （1） （1） 正割函數(shù)的定義域?yàn)?#160;(-¥,-1] È [1, ¥) ，值域?yàn)?#160;[0, p ] 。 [-  p  ,+ ] （2） （2） 反余割函數(shù)的定義域?yàn)?#160;(-¥,-1] È [1, ¥) ，值域?yàn)? p 2  2 。 （3） （3） 反正割函數(shù)的兩支分別都是為單調(diào)遞增的；反割弦函數(shù)的兩支分別都是為 單調(diào)遞減的。 （4） （4） 反正割函數(shù)無限趨向于 y = 0 這條直線。 （5） （5） 它們都是有界的。 （6） （6） 反余割函數(shù)為奇函數(shù)。 y = p 2 這條直線。反余割函數(shù)無限地趨向于 函數(shù)的運(yùn)算； 我們已經(jīng)討論了初等函數(shù)的基本類型，對(duì)它們進(jìn)行有限四則算術(shù)運(yùn)算，就可以得到結(jié)構(gòu) 更復(fù)雜的初等函數(shù)，對(duì)于這么構(gòu)成的復(fù)雜初等函數(shù)，我們?nèi)匀挥锌赡芨鶕?jù)組成它的基本初等 函數(shù)的性質(zhì)來估計(jì)它的某些性質(zhì)，例如在相同的定義域里，兩個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和仍然是偶函 數(shù)，兩個(gè)有界函數(shù)的代數(shù)和仍然是有界函數(shù)等等，這些都可以根據(jù)具體的情況來分析，特別 有助于我們?cè)诳荚嚂r(shí)，形成簡(jiǎn)潔的的解題思路。 函數(shù)的復(fù)合。 所謂函數(shù)的復(fù)合，就是進(jìn)行變量代換。任何一個(gè)初等函數(shù)z=f（y）的自變量 y，如果同 時(shí)作為另一個(gè)函數(shù) y=g（x）的因變量，那么把 g（x）代入 f（y），就得到了一個(gè)新的以 x 為自變量的 z 的函數(shù) z=f（g（x））。這個(gè)過程就是函數(shù)的復(fù)合過程。 在函數(shù)的復(fù)合過程中，有一個(gè)細(xì)節(jié)需要注意： g(x)的值域必須是 f（x）的定義域的子集； 只有這樣才能保證函數(shù)復(fù)合的合法性。 反過來，我們也可以把一個(gè)形式復(fù)雜的函數(shù)，理解為復(fù)合函數(shù)，這樣就可以按照復(fù)合的 結(jié)構(gòu)，把它分解為一些形式相對(duì)比較簡(jiǎn)單的形式的函數(shù)，從而使得我們能夠應(yīng)用微積分的適 當(dāng)方法對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行分析。 另外分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，也是在分析函數(shù)的定義域以及值域時(shí)，必須進(jìn)行的一個(gè)步驟， 實(shí)際上按照函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，一步一步地解不等式，正是我們分析復(fù)雜函數(shù)的定義域以及值 域的步驟。 初等函數(shù)。 至此為止，我們可以說初等函數(shù)的構(gòu)成，就是把基本初等函數(shù)，通過有限次數(shù)的四則運(yùn) 算與函數(shù)復(fù)合而得到的。 這里的關(guān)鍵是有限次數(shù)，所謂初等性，其實(shí)主要是來自于這個(gè)有限性，在后面我們學(xué)習(xí) 無窮級(jí)數(shù)時(shí)，會(huì)體會(huì)到無窮次數(shù)的初等運(yùn)算不一定可以通過有限的初等函數(shù)表示出來。 至于更為確切的初等函數(shù)的定義是很難下的，因?yàn)樵谖覀兊恼n程里，這個(gè)概念本來是一 個(gè)限制性的概念，并沒有非常精確的定義，所以我們也就無須過分地糾纏。 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)。 由于常見的緣故，我們常常需要討論一些特定的復(fù)合函數(shù)，例如我們?cè)诠こ填I(lǐng)域常常遇 到的一類自然指數(shù)通過特定的一些組合而得到函數(shù)，就是所謂雙曲函數(shù)及其反函數(shù) ,下面給 出這些函數(shù)的定義以及圖形，建議同學(xué)們仔細(xì)揣摩它們的性質(zhì)，盡量從直觀方面來熟悉它們： 雙曲正弦函數(shù)：  shx = ex - e- x 2  ； 反雙曲正弦函數(shù)： y = ar sinh x = ln( x + x2 + 1) ； 雙曲余弦函數(shù)： chx = e x + e- x 2  ； 反雙曲余弦函數(shù)： y = ar cosh x = ± ln( x + x2 - 1), ( x ³ 1); shx   ex - e- x 雙曲正切函數(shù)： thx = = chx  ex + e- x ； 反雙曲正切函數(shù)： 1  1 + x y = arthx =  ln    , ( x < 1); 2  1 - x chx   ex + e- x 雙曲余切函數(shù)： cthx = = shx  ex - e- x  y = arcthx = 1 反雙曲余切函數(shù)： x + 1 ln    , ( x > 1); 2  x - 1 分段函數(shù)。 我們?cè)趯?shí)際問題中會(huì)經(jīng)常遇到一種特殊形式的函數(shù)，它不屬于初等函數(shù)，而是由一些在 不同的定義域區(qū)間定義的初等函數(shù)組合起來的，這種形式的函數(shù)也許數(shù)學(xué)方面的意義并不是 很大，但是實(shí)際意義還是很大的，特別是這種函數(shù)在分段點(diǎn)處，往往需要進(jìn)行個(gè)別的研究， 這常常是我們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)當(dāng)中需要作為特殊情況加以處理的地方。 二，答疑解難。 1． 1． 在函數(shù)有界性的定義里，M 是唯一確定的嗎？ [答]：不是。 在我們的有界性定義當(dāng)中，只是指出了一個(gè)存在性的條件，即只要存在一個(gè)符合條件的 M 值，那么函數(shù)就是有界的。反過來，如果存在一個(gè)確定而有限的 M 值，那么我們總是可 以讓 M 加以任何一個(gè)正數(shù)，從而得到另外一個(gè)不同的M 值，這就是說我們實(shí)際上可以由此 而得到無數(shù)的 M 值。記住這里的關(guān)鍵是定義的存在性。 2． 2． 周期函數(shù)的定義域必須是全部實(shí)數(shù)嗎？ [答]：嚴(yán)格說來，周期函數(shù)的定義域應(yīng)該是全部實(shí)數(shù)，因?yàn)橹芷谛缘膶?shí)質(zhì)，就是整個(gè)函 數(shù)的圖形沿著 X 軸進(jìn)行一定大小的平移，而整個(gè)函數(shù)保持不變。而如果函數(shù)的定義域是實(shí) 數(shù)集合上的有限大小的區(qū)間，那么這種平移肯定會(huì)使得函數(shù)的定義域發(fā)生改變，從而改變了 原來的函數(shù)本身。不過在不過于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r下，可以通過一定的定義，使得我們只是著重于 函數(shù)在局部的周期性，這樣也就還是可以定義在局部區(qū)間的周期性的。 3． 3． 一個(gè)周期函數(shù)的周期是唯一的嗎？ [答]：不是唯一的。 很顯然，如果已知一個(gè)周期函數(shù)存在一個(gè)周期 T，那么至少 2T 也是這個(gè)函數(shù)的周期， 初學(xué)者對(duì)周期函數(shù)往往只是對(duì)一個(gè)周期函數(shù)的最小周期有印象，而忽略了最小周期的任意整 數(shù)倍都是周期這么一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，而我們后面常常在一些解題技巧當(dāng)中需要意識(shí)到這點(diǎn)。 4． 4． 反函數(shù)就是把一個(gè)函數(shù)的自變量與因變量的符號(hào)進(jìn)行互換而得到的嗎？ [答]：錯(cuò)誤。 初學(xué)者常常在這個(gè)問題上犯糊涂的主要原因，是不能很仔細(xì)地抓定義，抓概念，而是滿 足于望文生義，必定無法學(xué)好微積分。 反函數(shù)概念的核心在于，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)表示的并不是同一個(gè)函數(shù)關(guān)系，因?yàn)槲? 們改變了關(guān)于因變量與自變量的觀點(diǎn)，我們不能對(duì)同一個(gè)函數(shù)說，它既表示了 y 對(duì) x 的函數(shù) 關(guān)系，又說它表示了 x 對(duì) y 的函數(shù)關(guān)系，因此至于我們習(xí)慣上寫出顯式來，并且交換自變量 與因變量的字母，從而能夠在幾何上建立一個(gè)直觀。 一般地，在我們學(xué)習(xí)任何概念的時(shí)候，關(guān)鍵是要建立起自己的對(duì)于一個(gè)抽象概念的直觀 方式，比方說反函數(shù)，如果能夠牢固地抓住互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的幾何圖象的特征，即它 們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系里關(guān)于直線 x=y 對(duì)稱，就有了一個(gè)思考的線索與途徑。 5． 5． 函數(shù) y=x2，（-6<x<10）是偶函數(shù)還是奇函數(shù)？ [答]：不對(duì)。 函數(shù)的奇偶性并不是只與函數(shù)形式有關(guān)，還與函數(shù)的定義域有關(guān)，即具有奇偶性的函數(shù) 的定義域必定要求是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。 6． 6． 單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，對(duì)嗎？ [答]：不對(duì)。 這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格單調(diào)性，只有對(duì)于具有嚴(yán)格單調(diào)性的函數(shù)，才具有這樣的性質(zhì)。 7． 7． 在冪函數(shù)里的 x 可以取負(fù)值，為什么指數(shù)函數(shù)里的 a 不能取負(fù)值？ [答]：在冪函數(shù)里的 x 可以取負(fù)值，是在一定的條件下，即其中指數(shù)的分母為奇數(shù)。這 里指數(shù)為常數(shù)，因此只要確定了指數(shù)，函數(shù)也就確定了。 而在指數(shù)函數(shù)里，處于指數(shù)位置的 x 是自變量，這時(shí)函數(shù)的定義域就不再是完整的區(qū)間， 變得很復(fù)雜，因此我們只考慮指數(shù)函數(shù)里的 a 大于 0 的情形。 8. 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，對(duì)嗎？ [答]：從嚴(yán)格的意義來講，這么說是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹? 因?yàn)楫?dāng)我們?nèi)》慈呛瘮?shù)時(shí)，必須取三角函數(shù)的部分定義域，才能使得反三角函數(shù)滿足 函數(shù)的定義，因此只有與在定義域上相應(yīng)作了限制的三角函數(shù)才具有反函數(shù)。 第二章.極限概念 函數(shù)的連續(xù)性 如果說對(duì)于函數(shù)的概念，我們總是能夠從日常直觀出發(fā)，就能很好地加以理解，因?yàn)楫? 竟因果關(guān)系的觀念在我們的意識(shí)當(dāng)中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴(yán)格地理解極限的觀 念，就不是那么自然的了。 對(duì)于極限的觀念，最為關(guān)鍵的問題是，極限的模糊形象是誰都有的，但是如何定量地加 以描述，從而是可以應(yīng)用來作為一般的判別標(biāo)準(zhǔn)的呢？ 這個(gè)問題實(shí)際上困擾了人們幾百年，一直到 19 世紀(jì)才加以解決的。 數(shù)列的極限。 數(shù)數(shù)是人類最原始的數(shù)學(xué)活動(dòng)，應(yīng)該說，對(duì)于數(shù)數(shù)我們沒有更多的數(shù)學(xué)方面的分析可言 的了，或者說至少?gòu)臄?shù)學(xué)的角度而言，數(shù)數(shù)是一個(gè)足夠清楚而明確的行為。因此我們引入極 限這么一個(gè)抽象概念就從數(shù)數(shù)開始。 最為主要的一種事物運(yùn)動(dòng)變化的方式，是一種給人以連續(xù)性的感覺的變化。對(duì)于這樣的 變化方式，我們可以有兩種研究方式，一是屬于物理學(xué)范疇的研究方式，就是說去探討事物 變化發(fā)展中表現(xiàn)出來的連續(xù)性，究竟是一個(gè)什么樣的過程。另一種研究方式是并不考慮所謂 連續(xù)性究竟是什么回事，而是首先人為地定義一種明確的可以定量處理的連續(xù)性，使得我們 對(duì)于一般事物變化發(fā)展的描述都具有這種連續(xù)性的特點(diǎn)，并且總是在這種應(yīng)用當(dāng)中，隨時(shí)對(duì) 實(shí)際過程與理論推理進(jìn)行驗(yàn)證與對(duì)比，從而得到使用這種人為連續(xù)性的觀念的合理性，一直 到實(shí)驗(yàn)表明再也不能使用這個(gè)人為前提為止。 確實(shí)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)承認(rèn)，當(dāng)我們對(duì)客觀事物進(jìn)行描述與分析時(shí)，肯定是要基于一些前 個(gè)數(shù)列寫成這樣的樣子： a1 , a2 , a3 ,.... ，或者簡(jiǎn)單地記成{ an  。 對(duì)于數(shù)列 a1 , a2 , a3 ,.... ，假設(shè)存在一個(gè)確定的常數(shù) a，現(xiàn)在我們考慮變量 n a  - a a  - a 來表示這點(diǎn)。否則我們就說數(shù)列{ an  是發(fā)散的。 }lim an = a a  - a  成立，這時(shí)我們就把 a 稱為數(shù)列 a1  a2  a3 ,... 的極限。并且稱數(shù)列 a , a  , a ,.... 收斂于 提條件或者說假設(shè)的，問題的關(guān)鍵，不是在于我們是不是應(yīng)該首先證明了這些前提的正確性， 才能再來進(jìn)行隨后的工作，而是承認(rèn)任何的理論工作都只是相對(duì)的，是否有用必須經(jīng)過實(shí)驗(yàn) 的證明才能決定。 現(xiàn)在我們的主要工作就是建立一個(gè)關(guān)于日常生活的連續(xù)性的嚴(yán)格表述。而這個(gè)概念是可 以從我們進(jìn)行最為簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)開始的。 設(shè)存在一個(gè)數(shù)列，也就是一個(gè)數(shù)值的集合，這個(gè)集合的元素可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)出來，同 時(shí)，每一個(gè)元素都可以加上唯一的標(biāo)志，而自然數(shù)是最為適宜作這件工作的。比如說，把一 } （ 顯然，可以想象，隨著我們的數(shù)數(shù)，這個(gè)數(shù)列的取值，就會(huì)發(fā)生某種變化， 當(dāng)然，對(duì) 于總是取同一個(gè)數(shù)值的數(shù)列，我們沒有什么興趣。）這種變化的過程應(yīng)該說是相當(dāng)明確而沒 有任何含糊與抽象的地方。 然后，我們來規(guī)定一種具有特定規(guī)律的數(shù)列變化過程： （顯然 這是一個(gè)反映數(shù)列數(shù)值變化的，隨著 n 而發(fā)生變化的變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€(gè)數(shù)e ， 無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中找到一個(gè)元素a N ，使得 在這個(gè)元素后面的所有的數(shù)列元素，都使得相應(yīng)的變量 n 的數(shù)值小于 e ，換一句話來 說，就是，對(duì)于任意的 e ，總是存在一個(gè) N，使得當(dāng) n>N 時(shí)，總是有 an - a < e , , 1 2 3 極限 a。我們使用記號(hào) n®¥ 這就是一個(gè)數(shù)列收斂于一個(gè)極限或者說存在一個(gè)極限的定義。 在這個(gè)定義里面，最為關(guān)鍵的地方，也是初學(xué)者最為困難的地方有兩個(gè)： 1。數(shù)值 e 是任意的。實(shí)際上也就是說，只要存在一個(gè)e 的數(shù)值不滿足定義的條件，就 不能說數(shù)列收斂于極限 a。 這里初學(xué)者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對(duì)所有可能的e 都進(jìn)行檢驗(yàn)，才 能得到最后的判斷呢？在實(shí)際問題當(dāng)中，由于我們的目的是希望知道變量 n 是否越來 越小，因此一般總是只要取e 大于 0，并且足夠小（以后我們?cè)谟嘘P(guān)極限的定義當(dāng)中，總是 先假設(shè)了這點(diǎn)，記住這點(diǎn)并非是必要的，而是方便的），當(dāng)然只是這樣還不能減少我們對(duì)e 的 任意取值進(jìn)行驗(yàn)證的任務(wù)，關(guān)鍵在于，我們一般所處理的數(shù)列，總是按照某種特定的規(guī)律來 變化或者說是按照某種特定的規(guī)律來定義的，這樣一般從這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律本身，就可以 足夠使得我們進(jìn)行判斷，并且還有可能找到一個(gè)特定的由e 決定的 N 的值，使得條件得到 滿足，或者是可以找到反例。 實(shí)際上本章的最困難的地方就是如何判斷一個(gè)數(shù)列是否存在極限，如果存在的話，又如 何得到這個(gè)極限。這里最重要的方法是應(yīng)用不等式。 不過，我們的課程在這個(gè)方面的要求并不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡(jiǎn) 單的例子，而我們的精力應(yīng)該集中在對(duì)于極限思想的理解。 1． 1． 滿足條件的 n 必須取遍所有大于 N 的自然數(shù)。 初學(xué)者往往會(huì)覺得這是不可能的，實(shí)際上，我們并不需要對(duì)所有大于 N 的 n 值進(jìn)行檢 驗(yàn)，同樣由于數(shù)列的變化是具有規(guī)律的，從生成數(shù)列本身的規(guī)律，我們一般總是能夠通過有 限的步驟，來得到所需要的判斷。 那么究竟所謂生成數(shù)列的規(guī)律是什么呢？一般說來，一個(gè)數(shù)列的元素總是一個(gè)由變量 n 決定的函數(shù)，這里變量 n 取遍自然數(shù)，就生成了數(shù)列的全部項(xiàng)。這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式稱為通項(xiàng) an 的通項(xiàng)公式。 不過通項(xiàng)公式有時(shí)候并非完全只是 n 的函數(shù)，而是同時(shí)由變量 n 和第 n 項(xiàng)之前的項(xiàng)所決 定，這時(shí)，通項(xiàng)公式表現(xiàn)為一個(gè)遞推公式，這種情況的處理比較復(fù)雜，我們不過多的涉及。 實(shí)際上對(duì)于上面的第二點(diǎn)，如果我們把希望得到的結(jié)論放弱一點(diǎn)，就還可以有第二種更 我們說數(shù)列{ an  收斂，它的充要條件是：對(duì)于任意的 e  >0，總是存在正整數(shù)  N，使得 （1）數(shù)列{ an  以 a 為極限的另一個(gè)說法，或者說一個(gè)充要條件是：對(duì)于數(shù)列{ an  的任 意一個(gè)子數(shù)列{   ni  都以 a 為極限。 為方便的說法，這就是相當(dāng)重要的柯西收斂原理： } 對(duì)于任意的自然數(shù) p 和 n>0，有 an+ p - an < e 成立。 可以看到，在這里對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)與極限的定義當(dāng)中對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)是存在一 點(diǎn)差異的，就是在這里對(duì)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，我們并不需要知道這個(gè)數(shù)列的極限究竟是多少，而 通過檢驗(yàn)，我們也只是知道這個(gè)極限是否存在極限。而在極限的定義當(dāng)中，要對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn) 行檢驗(yàn)，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過是證明這個(gè)數(shù)列的極 限是否這個(gè)給出的極限值。 因此，在實(shí)際問題當(dāng)中，應(yīng)用柯西原理是更為方便的檢驗(yàn)方法。 在說明了一個(gè)數(shù)列的極限的含義以后，我們就可以得到一系列的這種極限過程的性質(zhì)如 下： } } a } 這種說法一般并不是應(yīng)用于正面的結(jié)論，因?yàn)檫@就意味著我們要取一個(gè)數(shù)列的任意子數(shù) 列來進(jìn)行驗(yàn)證，這反而把事情搞復(fù)雜了，但一般說來更難以說明正面結(jié)論的判據(jù)，往往更易 于說明反面結(jié)論，這也就是說，我們常?？梢院芊奖愕貞?yīng)用這個(gè)判據(jù)來說明某個(gè)數(shù)列是發(fā)散 的，因?yàn)?，我們只要能夠在一個(gè)數(shù)列里，構(gòu)造出一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，或者是構(gòu)造出兩個(gè)具 有不同收斂極限的子數(shù)列，就可以說明這個(gè)數(shù)列是發(fā)散的。 lim an = lim bn = c ，而另外一個(gè)數(shù)列{ n   滿 （2）如果兩個(gè)不同數(shù)列具有相同的極限：n®¥ n®¥ 足條件：存在一個(gè)確定的自然數(shù) N，當(dāng) n>N 時(shí)，總是有 c } 成立，那么數(shù)列{ cn  收斂，并且極限為 c。 （4）如果數(shù)列{ an  的子數(shù)列{ a2k +1  和{ a2k  都收斂于同一個(gè)極限，那么數(shù)列{ an  也收 an £ cn £ bn } 這個(gè)性質(zhì)被稱為夾逼定理，常常用來求某個(gè)合適的數(shù)列的極限，前提是已知另外兩個(gè)數(shù) 列的極限，并且這三個(gè)數(shù)列具有定理所要求的關(guān)系。 （3）如果我們把數(shù)列看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，那么就可以相應(yīng)地定義這個(gè)函 數(shù)的有界性和單調(diào)性，這兩個(gè)概念是相當(dāng)直觀的，并且顯然可以知道一個(gè)收斂數(shù)列必然是有 界的，因?yàn)榘凑帐諗康亩x，滿足 an - a > e 的項(xiàng)總是有限的，因此總能夠得到一個(gè)確定的函數(shù)的界。 反過來，則還必須加上一個(gè)條件： 單調(diào)而且有界的數(shù)列必定存在極限。 這是一個(gè)相當(dāng)重要的極限存在定理，因?yàn)橥卸ㄒ粋€(gè)數(shù)列的單調(diào)性和有界性是比較容 易的。 從這個(gè)定理可以得到一個(gè)條件比性質(zhì)（1）更弱，但結(jié)論一樣的極限存在定理： } } } } 斂于這個(gè)極限。 顯然這個(gè)定理比性質(zhì)（1）所需要的條件更弱，但結(jié)論是一樣的，這是因?yàn)槲覀冞x取了 特定的子數(shù)列。 （5）如果一個(gè)數(shù)列是由兩個(gè)收斂數(shù)列通過四則運(yùn)算得到的，那么這個(gè)數(shù)列的收斂性質(zhì) 就完全由這兩個(gè)數(shù)列決定，這就是數(shù)列極限的四則運(yùn)算性質(zhì)： a． lim k an = k lim an 其中 k 為實(shí)數(shù)； b． lim(an + bn) = lim an + lim bn ； c． lim(an × bn) = lim an × lim bn ； lim an = lim a d． n bn lim bn ，其中 lim bn ¹ 0 。 于鄰域  ( x - d , x + d ) 里，就有因變量 y 屬于鄰域 ( A - e , A + e )  這樣我們就可以說當(dāng)函數(shù) 函數(shù)的極限。 上面對(duì)于數(shù)列的討論，完全可以看成是對(duì)于一種最為簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限的討論，這里唯 一的差別，就是一般的函數(shù)的取值往往是連續(xù)的，而數(shù)列的取值是可以用自然數(shù)計(jì)數(shù)的。 這里數(shù)值的連續(xù)性，或者說實(shí)數(shù)的連續(xù)性，仍然是我們不清楚的概念，盡管這是一個(gè)微 積分最為基本的概念，是我們下面討論的一個(gè)基礎(chǔ)，但是由于本課程的限制，我們不學(xué)習(xí)艱 澀的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)理論，因此從邏輯的角度來講，我們只能是預(yù)先承認(rèn)一種直觀上的連續(xù)性觀 念，而實(shí)際上，這種直觀觀念對(duì)于我們下面的學(xué)習(xí)，也是足夠了的。 盡管數(shù)列的項(xiàng)是可以用自然數(shù)計(jì)數(shù)，但在數(shù)列的極限定義當(dāng)中，我們并沒有依賴于在實(shí) 際的檢驗(yàn)當(dāng)中，進(jìn)行逐項(xiàng)的比較，也就是說，在極限的定義當(dāng)中，數(shù)列的這種離散取值形式 是無關(guān)緊要的。我們?nèi)匀豢梢苑抡諗?shù)列的極限的定義，說明一個(gè)函數(shù)的極限的定義。 不過我們還必須首先考慮一個(gè)函數(shù)與數(shù)列的形式方面的差別。 我們知道，一個(gè)數(shù)列所表示的變化，是具有明確的自變量變化形式的，即隨著自然數(shù)的 增大而變化，而一個(gè)一般函數(shù)所表達(dá)的，則只是一般的自變量與因變量的數(shù)值對(duì)應(yīng)，而并沒 有更具體地要求指明自變量與因變量的變化過程是如何進(jìn)行的，函數(shù)的這種屬性，實(shí)際上也 正是函數(shù)的抽象能力之所在。那么我們?nèi)绾慰紤]在一個(gè)函數(shù)所表達(dá)的變化過程當(dāng)中可能存在 的極限現(xiàn)象呢？類似于數(shù)列的極限過程里面，自變量可以取得任意大一樣，在函數(shù)的極限過 程里面，可以考慮自變量與某一個(gè)特定值的距離任意小。我們知道一個(gè)數(shù)列如果收斂，那么 它的極限肯定是唯一的，這也可以說是極限概念之所以有意義的地方。而對(duì)于一個(gè)函數(shù)來說， 同樣必須考慮自變量在一定的變化方向上的函數(shù)變化性質(zhì)，即如何定義函數(shù)的具有唯一性質(zhì) 的極限。這里所謂自變量的變化方向，就是指自變量與某個(gè)特定值的距離任意小的意思。 為了說明自變量與某個(gè)特定值的距離任意小這種函數(shù)變化的特定形式，我們定義一個(gè)特 定的概念，就是鄰域的概念： 對(duì)于確定的一個(gè)實(shí)數(shù) x，我們定義它的一個(gè)鄰域，是指一個(gè)開區(qū)間 ( x - e , x + e ), 這個(gè) 開區(qū)間的特別之處在于e 可以看成是一個(gè)變量，并且一般是可以取任意小的數(shù)值的變量，因 此這個(gè)開區(qū)間的特別之處在于，這個(gè)開區(qū)間的大小是可以任意地小。鄰域這個(gè)概念在下面函 數(shù)的極限定義當(dāng)中具有關(guān)鍵的作用，希望同學(xué)們認(rèn)真加以體會(huì)。 首先假設(shè)函數(shù) f（x）在點(diǎn) x0 的鄰域 ( x - d , x + d ) 內(nèi)有定義，而在 x0 點(diǎn)上不一定需要 有定義。如果存在一個(gè)確定的點(diǎn) A，而我們?nèi)绻↑c(diǎn) A 的任意一個(gè)鄰域 ( A - e , A + e ) ，都 可以找到相應(yīng)的點(diǎn) x0 的鄰域 ( x - d , x + d ), 使得對(duì)于函數(shù) y=f（x）來說，只要自變量 x 屬 ， lim f ( x) = A 自變量 x 趨向于點(diǎn) x0 時(shí)，函數(shù)以 A 為極限，記成 x® x0 。 我們也可以