高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(下下)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)1.求過點（4,-1,3）且平行于直線x3yz 1的直線方程。215x2y4z 7=0,2.求過點(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程。3x5y2z1 03.求過點（0,2,4）且與兩平面x2z線方程。1和y3z 2平行的直4.求過點（-1，0,4）,且平行于平面3x4y z10 0，又與直線x1y 3z相交的直線的方程。1122z x sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。5.求22z2z z6.求下列函數(shù)的2,:2和xyxyyxz arctanz yz x y 4x y（1）；（2）；（3）x44227.設(shè)u f(x,y,z)ex2y2z2uu，而z x sin y.求和.yx2w2w8.設(shè)w f(x y z,xyz)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求及xxz9.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：。xyu f(,)；u f(x,xy,xyz)u f(x y,e)；（1）（2）（3）yz22xy10.設(shè)z f(x y)，其中f z2z11.求下列函數(shù)的2，xyx2222z2z具有二階導(dǎo)數(shù)，求2，xyx2z，2（其中y2z，2。yf具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：x)；y（1）z f(xy,y)；（2）z f(x,22xy（3）z f(xy,x y)；（4）z f(sin x,cos y,e)2 zz12.設(shè)e xyz 0，求2。x2 z3313.設(shè)z 3xyz a，求。xy14.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：u f(ux,v y),（1）設(shè)其中f，g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，2v g(u x,v y),uv求，。xxuuvux e usinv,（2）設(shè)求，uyxxy e ucosv,v，y。15.求曲線x t1t，y 1t，zt t2在對應(yīng)于t01的點處的切線及法平面方程。2316.求出曲線x t,y t,z t上的點，使在該點的切線平行于平面x2y z 4。17.z求曲面e z xy 3在點(2,1,0)處的切平面與法線方程。18.求函數(shù)u xyz在附加條件1111xyza下的極值。(x 0,y 0,z 0,a 0)19.求函數(shù)f(x,y)4(x y)x2 y2的極值。20.求函數(shù)f(x,y)(6x x2)(4y y2)的極值。21.求函數(shù)z xy在適合附加條件x y 1下的極大值。22.求下列函數(shù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù).2z ln(x y)(2)z xy (1)23.設(shè)z f(u,x,y),u xey，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，2z求xy.zz24.設(shè)x e cosv,y e sinv,z uv.試求和xyuu。25.計算xyd，其中D是由直線y 1,x 2及y x所圍D成的閉區(qū)域。2226.計算y 1 x y d，其中D是由直線y x,x 1和Dy 1所圍成的閉區(qū)域。27.計算xydD，其中D是由拋物線y2 x及直線y x2所圍成的閉區(qū)域。28.求球體x2 y2 z2 4a2被圓柱面x2 y2 2axa 0所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。29.改換下列二次積分的積分次序：（1）0dy0f(x,y)dx（2）（3）（5）1ydy02122yy2f(x,y)dxf(x,y)dydy011y2 1y2ln xf(x,y)dx（4）dx2xx22xe1dx0f(x,y)dy（6）0dxsinxf(x,y)dy2sinx30.求由平面x 0,y 0,x y 1所圍成的柱體被平面z 0及拋物面x2 y2 6 z截得的立體的體積。31.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分：（1）0dx0f(x,y)dy（2）0dxx（3）1123xf(x2 y2)dydx02a11x21xf(x,y)dy（4）dx01x20f(x,y)dy32.把下列積分化為極坐標形式，并計算積分值：（1）0dx01x2axx2(x y)dy（2）21222a0adxx0 x2 y2dy(x2 y2)dx（3）0dxx2(x y)dy（4）0dy033.利用極坐標計算：（1）eD2a2y2Dx2y222d，其中D是由圓周x y 4所圍成的閉區(qū)域；（3）arctanydx，其中D是由圓周x2 y2 4，x2 y21及直線y 0,y x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。34.計算三重積分xdxdydz，其中為三個坐標面及平面x2y z 1所圍成的閉區(qū)域。35.利用柱面坐標計算三重積分zdv，其中為曲面22z 2 x2 y2及z x y所圍成的閉區(qū)域。222 36.利用球面坐標計算三重積分(x y z)dv，其中是由球222面x y z 1所圍成的閉區(qū)域。37.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：（1）22x y 1及平面z 1，z 0，xydv，其中為柱面x 0,y 0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；22(x y)dv，其中是由曲面4z2 25(x2 y2)及平（2）面z 5所圍成的閉區(qū)域。2 38.計算二重積分：(y 3x6y9)d，其中DD(x,y)|x2 y2 R2。39證明：a0dye0ym(ax)f(x)dx(a x)em(ax)f(x)dx0a 40.設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域D(x,y)|x2 y2 y,x 0上連續(xù)，且f(x,y)1 x y 22f(x,y)dxdy,求f(x,y)。D8 41.計算下列對弧長的曲線積分。（1）L(x y)ds，其中L為圓周x acost,y asint(0t 2)。（2）22n(x y)ds，其中L為連接(1,0)及(0,1)的直線段。L（3）Lxds，其中L為由直線y x及拋物線y x2所圍成區(qū)域的整個邊界。2x（4）Lyzds，其中L為折線 ABCD,這里 A,B,C,D 依次為點(0,0,0)，(0,0,2)，(1,0,2)，(1,3,2)。42.計算Ly2dx，其中L為（1）半徑為 a，圓心為原點，按逆時針方向繞行的上半圓周；（2）從點 A（a,0）沿 x 軸到點 B（-a,0）的直線段。43.計算下列對坐標的曲線積分：222（1）L(x y)dx，其中L是拋物線y x上從點（0，0）到點（2，4）的一段??；（2）Lydx xdy，其中L為圓周x Rcost,y Rsint上對應(yīng)t從 0 到的一段弧；2(x y)dx(x y)dy（3）Lx2 y2，其中L為圓周x2 y2 a2（按逆時針方向繞行）。44.計算L(x y)dx(yx)dy，其中L是：2（1）拋物線y x上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧；（2）從點（1，1）到點（4，2）的直線段；（3）先沿直線從點（1,1）到點（1，2），然后再沿直線到點（4，2）的折線；（4）曲線x 2t2t 1,y t21上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧。45.證明下列曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值：（2）(1,2)(6xy2 y3)dx(6x2y3xy2)dy；（3）(3,4)(2,1)(1,0)(2xy2 y43)dx(x24xy3)dy.46.利用格林公式，計算下列曲線積分：（1）L(2x y4)dx(5y3x6)dy，其中L為三頂點分別為（0,0），（3，0）和（3，2）的三角形正向邊界；3222（3）L(2xy y cosx)dx(12ysin x3x y)dy，其中L為在拋物線2x y上由點（0，0）到(,1)的一段弧；2247.驗證下列P(x,y)dxQ(x,y)dy在整個xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個u(x,y)：（1）4sin xsin3 ycosxdx3cos3 ycos2xdy;（2）(3x2y 8xy2)dx(x38x2y 12yey)dyy2cosx)dx(2ysin x x2sin y)dy（3）(2xcos y 22(x y)dS,其中是：48.計算22（1）錐面z x y及平面z 1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；（2）錐面z2 3(x2 y2)被平面z 0和z 3所截得的部分。49.計算下列對面積的曲面積分：4xyz（1）(z 2xy)dS，其中為平面1在第一卦限中3234的部分；2（2）(2xy2x x z)dS，其中為平面2x2y z 6在第一卦限中的部分。50.計算下列對坐標的曲面積分：222222x（1）y zdxdy，其中是球面x y z R的下半部分的下側(cè)；（2）zdxdy xdydz ydzdx，其中是柱面x2 y21被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)。51.利用高斯公式計算曲面積分(x y)dxdy(y z)xdydz，其中是柱面x2 y21及平面z 0,z 3所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。52.利用高斯公式計算曲面積分：x2dydz y2dzdx z2dxdy，其中是平面x 0,y 0,z 0,x a,y a,z a所圍成的立體的表面的外側(cè)。xx 53.計算曲線積分：L(e sin y2y)dx(e cos y2)dy，其中L為上半圓周(xa)2 y2 a2,y 0沿逆時針方向。54.計算下列曲面積分：dS（1）x2 y2 z2，其中是界于平面z 0及z H之間222的圓柱面x y R；222xdydz ydzdx zdxdyz R x y，其中為半球面（3）的上側(cè)。55、判斷下列級數(shù)是否收斂(n!)（1）（2）2（3）2nn nn1n1n112ncos22nn3（4）n1nsin24nn32nnn1n3 sin2 sinn（7）（5）（8）3nn（6）73n1n1n1n1n(n2)2nn!n(9)(10)nn11n(n1n)(11)21nn1n156、討論下列級數(shù)的絕對收斂與條件收斂n1p（2）（1）(1)nn1(1)n1n1n3n157、把下列函數(shù)展成x的冪級數(shù)（1）f(x)(1 x)ln(1 x)（2）ln(xx 1)211（3）（4）（a 0的常數(shù)）(2x)2(a x)2158、把f(x)2展開成(x1)的冪級數(shù)。x 4x359、把f(x)1展開成(x4)的冪級數(shù)。x23x260.求下列級數(shù)的和函數(shù)4n1xx2n1n1（1）nx（2）（3）4n12n1n1n1n1