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廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學期期末試題數(shù)學(理).doc

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廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學期期末試題數(shù)學(理).doc

廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學期期末試題 數(shù)學(理科) 2011.1.13 參考公式:錐體的體積公式,其中S為錐體的底面積,和h為錐體的高. 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只 有一項是符合題目要求的,請將正確答案的編號用鉛筆涂在答題卡上. 1.設全集U={1,2,3,4,5},集合M={1, 3,5},N={3,4,5},則集合(?UM)∩N= A. {4} B. {2,3,4,5} C. {1, 3,4,5} D.Φ 2.若復數(shù)z1=3+i,z2=2-i,則在復平面內(nèi)對應的點位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的有幾個 ①f(x)=sin(π-x); ②; ③f(x)=x3-x; ④f(x)=2x+2-x. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 第4題圖 4.為了解地震災區(qū)高三學生的身體發(fā) 育狀況,抽查了該地區(qū)100名年齡為 17歲~18歲的男生體重(kg),得 到如圖頻率分布直方圖. 根據(jù)右圖可 知體重在[56.5,64.5)的學生人數(shù)有 A.20人 B.30人 C.40人 D.50人 5.在2010年開展的全國第六次人口普查中發(fā)現(xiàn),某市市民月收入ξ (單位:元)服從正 態(tài)分布N(3000,σ2),且P(ξ<1000)=0.1962,則P(3000≤ξ≤5000)= A.0.8038 B.0.3038 C.0.6076 D.0.3924 6.展開式中的常數(shù)項為 A.-1320 B.1320 C.-220 D.220 7.設m、n是兩條直線,α、β是兩個不同平面,下列命題正確的是 A.若m⊥α,nÌβ,m⊥n,則α⊥β B.若α⊥β,m⊥α, n∥β,則m⊥n C.若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,則n⊥β D.若α∥β,m⊥α, n∥β,則m⊥n 8.對于直角坐標系內(nèi)任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),定義運算P1P2= (x1,y1) (x2, y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1),若M是與原點O相異的點,且M (1,1)=N,則∠M0N= A. 1350 B. 450 C.900 D. 600 第Ⅱ卷(非選擇題共110分) 二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,其中14~15是選做題,考生只能選做一題,二題全答的,只計算前一題得分,共30分.把答案填在答題卡上. (一)必做題(9~13題) 9.計算 . 10.若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線的右焦點重合,則p的值為 . 11.設x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為 . 12.將4本不同的書全部發(fā)給3名同學,每名同學至少有一本書的概率是 . 13.設f0(x)=cosx,f1(x)= f0'(x),f2(x)= f1'(x),…,fn+1(x)= fn'(x),n∈N*, 則f2011 (x)= . (二)選做題:(14 ~ 15題,考生只能從中選做一題) D C 14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題) 圓C:(θ為參數(shù))的圓心到直線 l:(t為參數(shù))的距離為 . 15.(幾何證明選講選做題)如圖,PC切⊙O于點 C,割線PAB經(jīng)過圓心O,弦CD⊥AB于點E, PC=4,PB=8,則CD___________. 三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明或演算步驟. 16.(本小題滿分12分) 已知函數(shù). (Ⅰ)若,,求函數(shù)f(x)的值; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域. 輸入a,b 開始 結(jié)束 第17題圖 ? ? Y N N Y n=n+1 M=|S-T| n=0,S=O,T=O 17.(本小題滿分12分) 在第十六屆廣州亞運會上,某項目的比賽規(guī)則為: 由兩人(記為甲和乙)進行比賽,每局勝者得1分, 負者得0分(無平局),比賽進行到有一人比對方 多2分或打滿6局時停止. 設甲在每局中獲勝的概率為p(p>0.5),且各局勝 負相互獨立. 已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為. (Ⅰ)求實數(shù)p的值; (Ⅱ)如圖為統(tǒng)計比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分數(shù)S、T的 程序框圖. 其中如果甲獲勝,輸入a=1,b=0;如果乙獲勝, 則輸入a=0,b=1.請問在第一、第二兩個判斷框中應分別填 寫什么條件; (Ⅲ)設ζ表示比賽停止時已比賽的局數(shù),求隨機變量ζ的 分布列和數(shù)學期望Eζ. 18.(本小題滿分14分) 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1, AB=2,點E在棱AB 上移動,設AE=x(0<x<2). (Ⅰ)證明:A1D⊥ D1E; (Ⅱ) 當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離; (Ⅲ)x為何值時,二面角D1-EC=D=的大小為450. D C B A1 E A B1 19.(本小題滿分14分) 設函數(shù)f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),已知x=-2和x=1為函數(shù)f(x)的極值點. (Ⅰ)求實數(shù)a和b的值; (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (Ⅲ)是否存在實數(shù)M,使方程f(x)=M有個不同的實數(shù)根? 若存在,求出實數(shù)M的取值范圍;若不存在,請說明理由. 20.(本小題滿分14分) 已知等差數(shù)列{an}中,a1=-1,前12項和S12=186. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式; (Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若不等式Tn<m對所有 n∈N*恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 21.(本小題滿分14分) 橢圓中心是原點O,它的短軸長為,右焦點F(c,0) (c>0),它的長軸長為2a(a>c>0),直線l:與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點. (Ⅰ)求橢圓的方程和離心率; (Ⅱ)若,求直線PQ的方程; (Ⅲ)設 (λ>1),過點P且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點M, 證明:. (命題人:南頭中學 萬秉生 審題人:區(qū)教研室 羅誠) 廣東省北大附中深圳南山分校2011屆高三上學期期末試題 數(shù)學(理科) 參考答案及評分標準 2011.1.13 一、選擇題:(8×5'=40') 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A A C C B C D B 二、填空題:(6×5'=30') 9、6; 10、4; 11、2; 12、; 13、sinx; 14、2; 15、. 三、解答題:(80') 16. (本小題滿分12分) 解:(Ⅰ)∵,,∴, ……2分 又 ……3分 , ……4分 ∴. ……6分 (Ⅱ) , ……8分 ∴, ……10分 ∵x∈R,∴, ……11分 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π,值域為[-2,2]. ……12分 17. (本小題滿分12分) 解:(Ⅰ)依題意,當甲連勝2局或乙連勝2局時,第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束. 有. ……2分 解得或. ……3分 ∵,∴. ……4分 (Ⅱ)程序框圖中的第一個條件框應填M=2,第二個應填n=6. ……8分 注意:答案不唯一. 如:第一個條件框填M>1,第二個條件框填n>5,或者第一、 第二條件互換,都可以. (Ⅲ)依題意知,ζ的所有可能值為2,4,6. ……9分 由已知 , . …… 11分 ∴隨機變量ζ的分布列為: ζ 2 4 6 P D C B A1 E A B1 C1 D1 故. ……12分 18. (本小題滿分14分) 解法一: (Ⅰ) 證明:∵AE⊥平面AA1DD1, A1DÌ平面AA1DD1, ∴A1D⊥AE, ……1分 AA1DD1為正方形, ∴A1D⊥AD1, ……2分 又A1D ∩AE=A,∴A1D⊥平面AD1E, ……3分 ∴A1D⊥D1E. ……4分 (Ⅱ) 設點E到面ACD1的距離為h,在△ACD1中,,, 故,而, ……6分 ∴ , ……8分 即 ,從而,所以點E到面ACD1的距離為. ……9分 (Ⅲ) 過D作DH⊥CE于H,連D1H,則D1H⊥CE, ∴∠DHD1為二面角D1-EC-D的平面角,∴∠DHD1=450. ……11分 ∵D1D=1,∴DH=1,又DC=2,∴∠DCH=300, ……12分 ∴∠ECB=600,又BC=1,在Rt△EBC中,得, ……13分 ∴,∴時,二面角D1-EC-D的大小為450. ……14分 解法二:以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A (1,0,0),C(0,2,0), ……2分 (Ⅰ) ,, 因為,所以, ……6分 (Ⅱ)由E為AB的中點,有E(1,1,0),從而, ,設平面ACD1的法向量為,則, 也即,得,從而, ……8分 所以點E到平面ACD1的距離為 ……10分 (Ⅲ) 顯然是平面AECD的一個法向量.設平面D1EC的法向量為, ∴,,, 由, 令b=1,∴c=2,a=2-x, ∴ ……12分 依題意. ∴(不合題意,舍去),. ∴時,二面角D1-EC-D的大小為450. ……14分 19. (本小題滿分14分) 解:(Ⅰ)∵f′ (x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx, ……1分 又x=-2和x=1為函數(shù)f(x)的極值點.∴f′ (-2)= f′ (1)=0, ……2分 即,解得, ……3分 所以,,b=-1. ……4分 (Ⅱ) ∵,b=-1, ∴f′ (x)=(x2+2x)ex-1-x2-2x=(x2+2x)(ex-1-1), ……5分 令f′ (x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1, ……6分 ∵當x∈(-∞,-2)∪(0,1)時,f′ (x)<0, 當x∈(-2,0)∪(1,+∞)時,f′ (x)>0, ……8分 ∴f(x)在區(qū)間(-2,0)和(1,+∞)上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間(-∞,-2)和(0,1) 上是單調(diào)遞減的. ……9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得,由(Ⅱ)得函數(shù)的極大值為f(x)極大值= f(0)=0, ……10分 函數(shù)的極小值為 ,和 ……11分 又, ……12分 f(-3)= (-3)2e-4+9-9=9e-4>0,f(3)= 32e2-9-9=9(e2-2)>0, ……13分 通過上面的分析可知,當時方程f(x)=M恰有4個不等的實數(shù)根. 所以存在實數(shù)M,使方程f(x)=M有4個根,其M取值范圍為. ……14分 20. (本小題滿分14分) 解:(Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的公差為d,∵ a1=-1,S12=186, ∴ , ……2分 即 186=-12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分 所以數(shù)列{an}的通項公式 an=-1+(n-1)×3=3n-4. ……7分 (Ⅱ)∵,an=3n-4,∴. ……8分 ∵ 當n≥2時,, ……9分 ∴ 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項,公比. ……10分 ∴. ∵,∴, ∴. 所以. ……12分 又不等式Tn<m對n∈N*恒成立, ∴而單調(diào)遞增,且當n無限增大時,的值無限趨近1, ……13分 所以m的取值范圍為. ……14分 21. (本小題滿分14分) (Ⅰ)解:由題意,可知橢圓的方程為. ……1分 由已知得 ……2分 解得,c=2, ……3分 所以橢圓的方程為,離心率. ……5分 (Ⅱ)解:由(1)可得A(3,0).設直線PQ的方程為y=k(x-3). 聯(lián)立方程組,得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0, ……6分 依題意△=12(2-3k2)>0,得. ……7分 設P(x1,y1),Q(x2,y2),則 , ① . ② ……8分 由直線PQ的方程得為y1=k(x1-3),y2=k(x2-3),于是, y1y2=k2(x1-3) (x2-3)= k2[x1x2-3(x1+ x2)+9]. ③ ∵,∴x1x2+y1y2=0. ④ ……9分 由①②③④得5k2=1,從而. 所以直線PQ的方程為或. ……10分 (Ⅲ)證明:∵P(x1,y1),Q(x2,y2), A(3,0), ∴,.由已知得方程組 ,注意λ>1,解得, ……12分 因為F(2,0), M(x1,-y1),故 . ……13分 而,所以. ……14分 第 9 頁 共 9 頁

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