高等數(shù)學證明題

高等數(shù)學證明題 - 正文: 不等式是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種非常重要的思想方法。在中學證明不等式一般有比擬法，綜合法，分析^p 法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學歸納法，利用二項式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比擬大，下面就利用高等數(shù)學知識進展不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈敏性。 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設有兩個函數(shù)f(x)與g(x),滿足： 〔1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)； 〔2〕在開區(qū)間〔a,b)內(nèi)可導有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)g(x)成立。 例1：求證：ex-1>x (當x>0時) 從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數(shù)形式，如用初等代數(shù)來證明那么有一定的難度，如用高等數(shù)學中上面的定理那么非常直觀。 分析^p 1：要證ex-1>x，可以設f(x)=ex-1,g(x)=x 這樣就轉(zhuǎn)化成定理1的形式。 證明：設f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導 有：f'(x)=ex >g'(x)=1 (當x>0) 并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0) 所以根據(jù)定理1有：f(x)>g(x) 即：ex-1>x 這樣通過高等數(shù)學中的導數(shù)和函數(shù)的根本性質(zhì)就可以證明。 另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上〔略〕。 假如不等式中的次數(shù)較高，形式也比擬復雜，這可能需要屢次轉(zhuǎn)化，才能到達目的，通過下面的例子不難看出這一點。 例2：設a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當x>0時,有x2-2ax+10 不妨設：F(x)=ex-x2+2ax-1 有：F(0)=0 那么：F'(x)=ex-2x+2a 如今只需證明：F'(x)>0即可證明F(x)>0 下面分析^p 證明：F'(x)>0 設g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln >0 (a>ln2-1) 又因：g'(x)=ex-2 所以如今只需證：g'(x)≥0就可以證明g(x)>0. 即需要證：ex≥2 Ⅰ.當x≥ln2時成立. Ⅱ.下面考察：當 00 g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0 e4所以：g(x)在x=ln2時為極值點，且為極小值。 這樣只要說明：g(ln2)>0即可。 又因：2-2ln2+2a>0 (當a>ln2-1時〕 所以：在00. 綜上所述，可知F'(x)>0.所在在證明不等式過程中連續(xù)兩次用到求導。 有時在證明不等式時，如用初等數(shù)學知識那么比擬困難，假如我們能巧妙地構(gòu)造函數(shù)，這樣可使問題得以簡化，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性，我們利用了高等數(shù)學中的導數(shù)知識很容易地就解決了。下面利用高等數(shù)學中的拉格朗中值定理進展不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：假設函數(shù)f(x)滿足以下條件： 〔1〕f(x)在[a,b]并閉區(qū)間上連續(xù)； 〔2〕f(x)在(a,b)開區(qū)間內(nèi)可導； 那么至少存在一點ξ∈〔a,b),使得 f '(ξ)= f(b)?f(a)成立。 b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析^p ：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設其中一個為較大者，那么a,b可組成一個區(qū)間。再分析^p sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。 證明：假設a＝b,那么等號成立。 假設a≠b,不妨設a＜b. 設f(x)=sinx 那么f '(x)=cosx 那么拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈〔a,b) 使得： f '(ξ) = cosξ= 又因為：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)如今遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時，可用此定理，使得證明得以簡化，其中我們應靈敏地利用拉格朗日中值定理的各種變形進展不等式的證明。 利用定積分的有關(guān)知識進展不等式的證明 在不等式的證明中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析^p 不難發(fā)現(xiàn)這一點。 例4：對任意正整數(shù)n>1 3n?1123n 2nnnnnn= [n + n + n +…… +( 1n2n3nn?0xndx n?1nn1nn) +n - n > nn2nn?1n1123n所以：+<n + n + n +…… +n n?12nnnn3n?1123n即： < n + n + n +…… +n < 2 2n?2nnnn1所以[n + n + n +…… +( 1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個例子中都利用了函數(shù)，由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對函數(shù)的分析^p ，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學中的導數(shù)的知識使問題簡化，其次本文利用高等數(shù)學中的拉格朗日中值定理進展不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進展不等式的證明，以上的問題說明高等數(shù)學在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢，我們還需進一步的學習和研究。 【參考文獻】：^p ： [1]《高初數(shù)學結(jié)合講義 》 首都師范大學張海山老師 [2]《數(shù)學分析^p 講義》 高等教育出版社 第 5 頁 共 5 頁