2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題 1．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解. 【詳解】， 故選：A. 2．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)題意，計(jì)算隨機(jī)數(shù)中每組數(shù)中有2個(gè)數(shù)字在集合中判斷即可 【詳解】由題意，隨機(jī)數(shù)中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為 故選：B 3．已知、是空間中兩個(gè)不同平面，、是空間中兩條不同直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是 A．若，⊥，則⊥ B．若，，則 C．若⊥，⊥，則 D．若⊥，，則 【答案】B 【分析】根據(jù)線面、面面平行垂直的性質(zhì)判定定理依次判定. 【詳解】線面垂直的性質(zhì)定理可知A正確； m、n可以異面，B錯(cuò)誤； 面面平行的判定可知C正確； 面面垂直的判定可知D正確. 故選：B. 4．已知向量，，且，那么（    ） A．2 B．-2 C．6 D．-6 【答案】B 【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于m的方程，解得答案. 【詳解】由向量，，且， 可得: , 故選：B 5．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解. 【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上， 可知內(nèi)層圓柱的高 同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上， 可知外層圓柱的高 此模型的體積為 故選：C 6．若，則（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求得答案. 【詳解】 故選：B 7．在，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的形狀是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而移項(xiàng)整理得，再結(jié)合得或，進(jìn)而得答案. 【詳解】解：根據(jù)正弦定理邊角互化得， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或，即的形狀是等腰或直角三角形. 故選：D 8．已知△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，且 ，則的值為（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】把△放在直角坐標(biāo)系中，可以根據(jù)題干中的條件寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出的值即可. 【詳解】把△如下圖放在直角坐標(biāo)系中， 由于△的邊長(zhǎng)為1，故，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，設(shè)，，，，. 故選：B. 二、多選題 9．已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的為（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通過(guò)向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法與向量的數(shù)量積公式即可判斷各選項(xiàng)正確與否. 【詳解】通過(guò)向量加法的平行四邊形法則可知，，選項(xiàng)A正確； ，選項(xiàng)B錯(cuò)誤； 與方向不同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 延長(zhǎng)到,使,通過(guò)向量減法的三角形法則可知,在中，，，選項(xiàng)D正確. 故選：AD. 10．下列各式中，值為的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的倍角公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解. 【詳解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正確； 由正切的倍角公式，可得，所以B正確；由正弦的倍角公式，可得，所以C正確； 由，所以D不正確. 故選：BC. 11．已知向量，下列結(jié)論正確的是（    ） A．與能作為一組基底 B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為 C．與的夾角的正弦值為 D．若滿足，則 【答案】ACD 【分析】對(duì)于A兩個(gè)不共線的向量可以作為平面的一組基底；對(duì)于B與向量同向的單位向量為；對(duì)于C可以用夾角公式先求夾角的余弦，再用平方關(guān)系求正弦；對(duì)于D代模長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以不存在?shí)數(shù)使得， 所以與能作為一組基底，故A正確； 對(duì)于B，因?yàn)椋? 所以， 所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，因?yàn)椋? 所以與的夾角的正弦值為，故C正確； 對(duì)于D，因?yàn)椋? 所以，解得，故D正確． 故選：ACD． 12．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（    ） A．三棱錐的體積為定值 B．異面直線與所成的角的取值范圍為 C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為 D．過(guò)作直線，則 【答案】ACD 【分析】證明平面，結(jié)合三棱錐的體積計(jì)算判斷A；利用異面直線夾角的定義計(jì)算判斷B；求出點(diǎn)到平面的距離計(jì)算判斷C；證明平面判斷D作答. 【詳解】對(duì)于A，在正方體中，對(duì)角面是矩形，即， 平面，平面，則平面，即點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)C到 平面的距離，為定值，而的面積是定值，因此，三棱錐的體積為定值，A正確； 對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則異面直線與所成的角即為直線與所成的角，連， 則有是正三角形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與或重合時(shí)，直線與所成的角最小，為， 當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角最大，為， 所以異面直線與所成的角的取值范圍為，B不正確； 對(duì)于C，令正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，正邊長(zhǎng)為，面積為， 由得：，解得，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，， 所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，C正確； 對(duì)于D，在正方體中，，平面，又平面，因此， 而，平面，于是有平面，又平面， 則，又直線過(guò)，且直線，所以，D正確. 故選：ACD 三、填空題 13．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則_________． 【答案】 【分析】先將復(fù)數(shù)z化成的形式，再求模即可得答案. 【詳解】解：因?yàn)椋? 所以. 故答案為：. 14．已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.6，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是 __． 【答案】/ 【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【詳解】由甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.6， 若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率為 故答案為：. 15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為_(kāi)_________. 【答案】 【分析】設(shè)球心為所在圓面的圓心為，根據(jù)球的幾何特征可知，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為射線與球的交點(diǎn)，即可根據(jù)三棱錐的體積公式求出球的半徑，從而得其外接球的表面積． 【詳解】如圖所示：設(shè)球心為所在圓面的圓心為，則平面． 因?yàn)闉榈妊苯侨切吻?，所以是中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為射線與球的交點(diǎn)，所以；因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為. 故答案為：． 16．在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的__心. 【答案】?jī)?nèi) 【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算得到，再利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可． 【詳解】，， ， ， ，分別是，方向上的單位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 為的內(nèi)心， 故答案為：內(nèi) 四、解答題 17．蘭州市新開(kāi)的滑冰館備受年輕人的喜歡，此館的平面設(shè)計(jì)如圖所示，其中區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，，，區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū)，．現(xiàn)為了安全起見(jiàn)，將滑冰區(qū)周?chē)鹱o(hù)欄．若，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（的周長(zhǎng)）.    【答案】 【分析】利用余弦定理求出的長(zhǎng)，分析出為直角三角形，計(jì)算出邊、的長(zhǎng)，即可求得的周長(zhǎng)，即為所求. 【詳解】解：區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，，所以，， 區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū)，在中，，， 所以，，， 所以，的周長(zhǎng)為. 護(hù)欄的長(zhǎng)度為． 18．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有道不同的題目，其中選擇題道，判斷題道，甲、乙兩人各抽一道（不重復(fù)）． (1)甲抽到選擇題且乙抽到判斷題的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件，列舉所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件發(fā)生的概率； （2）記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事件發(fā)生的概率. 【詳解】（1）解：記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件， 記兩道選擇題分別為、，兩道判斷題分別為、， 所有的基本事件有：、、、、、、、 、、、、，共種， 其中事件包含的基本事件有：、、、，共種， 由古典概型的概率公式可得. （2）解：記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題， 則事件包含的基本事件有：、、、、、 、、、、，共種， 由古典概型的概率公式可得. 19．①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答． 已知的三邊，，所對(duì)的角分別為，，．若，______． （1）求； （2）求的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分． 【答案】選①：（1）；（2）或.選②：（1）；（2）或. 選③：（1）；（2）或. 【分析】若選①：（1）由二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積；若選②：（1）由正弦定理化邊為角可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積；若選③：（1）由余弦定理可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積； 【詳解】若選①： （1）由可得即， 所以，所以， 因?yàn)?，所? （2）由可得， 因?yàn)?，所以或? 當(dāng)時(shí)，，由可得，， 此時(shí)的面積為， 當(dāng)時(shí)，，所以， 此時(shí)的面積為， 所以的面積為或. 若選②： 由可得， 因?yàn)?，所以，可得? 因?yàn)?，所以? （2）由可得， 因?yàn)?，所以或? 當(dāng)時(shí)，，由可得，， 此時(shí)的面積為， 當(dāng)時(shí)，，所以， 此時(shí)的面積為， 所以的面積為或. 若選③：由可得， 由余弦定理可得， 因?yàn)?，所以? （2）由可得， 因?yàn)?，所以或? 當(dāng)時(shí)，，由可得，， 此時(shí)的面積為， 當(dāng)時(shí)，，所以， 此時(shí)的面積為， 所以的面積為或. 20．如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．    (1)求證：平面； (2)求證：平面. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行； （2）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，結(jié)合勾股定理逆定理得到線面垂直. 【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．    ，分別是和的中點(diǎn)， ，． 又四邊形為正方形， ，從而． 平面，平面， 平面， 同理平面，又， 平面平面， ∵平面， 則平面； （2）為正方形， ． 又平面平面，且平面平面，面， 平面，平面，則， ，， ，則，得． 又，平面， 平面； 21．甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年”知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)有、兩類(lèi)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則如下： ①競(jìng)賽開(kāi)始時(shí)，甲、乙兩同學(xué)各自先從類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，答錯(cuò)的同學(xué)本輪競(jìng)賽結(jié)束；答對(duì)的同學(xué)再?gòu)念?lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，無(wú)論答對(duì)與否，本輪競(jìng)賽結(jié)束． ②若在本輪競(jìng)賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于個(gè)，則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪．已知甲同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為，能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為．乙同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為，答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為． (1)設(shè)“甲答對(duì)個(gè)，個(gè)，個(gè)問(wèn)題”分別記為事件、、，求事件、、的概率； (2)求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用對(duì)立事件的概率公式可求得的值，利用獨(dú)立事件的概率公式可求得、的值； （2）設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)個(gè)、個(gè)問(wèn)題”別記為事件、，計(jì)算出、的值，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【詳解】（1）解：甲同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為，能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為， ，，． （2）解：設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)個(gè)、個(gè)問(wèn)題”別記為事件、， 乙同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為，答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為． ，， 設(shè)事件表示““星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪”， ， 故“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率為． 22．如圖，在三棱錐中，底面． (1)證明：平面平面； (2)若，直線與平面所成角的大小為，求的長(zhǎng)． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）由線面垂直得到，再由，即可得到平面，從而得證； （2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到就是直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)及勾股定理計(jì)算可得； 【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面? 所以， 因?yàn)椋?，平面，所以平面? 又平面， 所以平面平面． （2）解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，連接． 由（1）知平面平面， 又，平面平面，平面， 所以平面， 所以就是直線與平面所成角， 即． 在中，，故． 在中，． 在中，因?yàn)?，所以，即? 所以為等腰直角三角形， 所以．