2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】
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2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】
一、單選題
1.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】,
故選:A.
2.天氣預(yù)報(bào)說(shuō),在今后的三天中,每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率.用1,2,3,4,5,6表示下雨,用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180,792,454,417,165,809,798,386,196,206.據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,計(jì)算隨機(jī)數(shù)中每組數(shù)中有2個(gè)數(shù)字在集合中判斷即可
【詳解】由題意,隨機(jī)數(shù)中417,386,196,206表示這三天中恰有兩天下雨,故估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為
故選:B
3.已知、是空間中兩個(gè)不同平面,、是空間中兩條不同直線,則下列命題中錯(cuò)誤的是
A.若,⊥,則⊥
B.若,,則
C.若⊥,⊥,則
D.若⊥,,則
【答案】B
【分析】根據(jù)線面、面面平行垂直的性質(zhì)判定定理依次判定.
【詳解】線面垂直的性質(zhì)定理可知A正確;
m、n可以異面,B錯(cuò)誤;
面面平行的判定可知C正確;
面面垂直的判定可知D正確.
故選:B.
4.已知向量,,且,那么( )
A.2 B.-2 C.6 D.-6
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示,列出關(guān)于m的方程,解得答案.
【詳解】由向量,,且,
可得: ,
故選:B
5.“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行,中國(guó)館建筑名為“華夏之光”,外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠,寓意希望和光明.它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱,某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型,已知模型內(nèi)層底面直徑為,外層底面直徑為,且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】求出內(nèi)層圓柱,外層圓柱的高,該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和,計(jì)算可得解.
【詳解】如圖,該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為,且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上,
可知內(nèi)層圓柱的高
同理,該模型外層圓柱底面直徑為,且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上,
可知外層圓柱的高
此模型的體積為
故選:C
6.若,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,即可求得答案.
【詳解】
故選:B
7.在,其內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,則的形狀是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C..等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理邊角互化得,進(jìn)而移項(xiàng)整理得,再結(jié)合得或,進(jìn)而得答案.
【詳解】解:根據(jù)正弦定理邊角互化得,
所以,
所以,
所以,即,
所以或,
所以或,即的形狀是等腰或直角三角形.
故選:D
8.已知△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),且 ,則的值為( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【分析】把△放在直角坐標(biāo)系中,可以根據(jù)題干中的條件寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出的值即可.
【詳解】把△如下圖放在直角坐標(biāo)系中,
由于△的邊長(zhǎng)為1,故,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),,設(shè),,,,.
故選:B.
二、多選題
9.已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的中心,則下列結(jié)論正確的為( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【分析】通過(guò)向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法與向量的數(shù)量積公式即可判斷各選項(xiàng)正確與否.
【詳解】通過(guò)向量加法的平行四邊形法則可知,,選項(xiàng)A正確;
,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
與方向不同,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
延長(zhǎng)到,使,通過(guò)向量減法的三角形法則可知,在中,,,選項(xiàng)D正確.
故選:AD.
10.下列各式中,值為的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的倍角公式,準(zhǔn)確化簡(jiǎn),即可求解.
【詳解】由余弦的倍角公式,可得,所以A不正確;
由正切的倍角公式,可得,所以B正確;由正弦的倍角公式,可得,所以C正確;
由,所以D不正確.
故選:BC.
11.已知向量,下列結(jié)論正確的是( )
A.與能作為一組基底
B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為
C.與的夾角的正弦值為
D.若滿足,則
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A兩個(gè)不共線的向量可以作為平面的一組基底;對(duì)于B與向量同向的單位向量為;對(duì)于C可以用夾角公式先求夾角的余弦,再用平方關(guān)系求正弦;對(duì)于D代模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,所以不存在?shí)數(shù)使得,
所以與能作為一組基底,故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)椋?
所以,
所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)椋?
所以與的夾角的正弦值為,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)椋?
所以,解得,故D正確.
故選:ACD.
12.如圖,在正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),則( )
A.三棱錐的體積為定值
B.異面直線與所成的角的取值范圍為
C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
D.過(guò)作直線,則
【答案】ACD
【分析】證明平面,結(jié)合三棱錐的體積計(jì)算判斷A;利用異面直線夾角的定義計(jì)算判斷B;求出點(diǎn)到平面的距離計(jì)算判斷C;證明平面判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A,在正方體中,對(duì)角面是矩形,即,
平面,平面,則平面,即點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)C到
平面的距離,為定值,而的面積是定值,因此,三棱錐的體積為定值,A正確;
對(duì)于B,由選項(xiàng)A知,,則異面直線與所成的角即為直線與所成的角,連,
則有是正三角形,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與或重合時(shí),直線與所成的角最小,為,
當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí),直線與所成的角最大,為,
所以異面直線與所成的角的取值范圍為,B不正確;
對(duì)于C,令正方體棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)到平面的距離為h,正邊長(zhǎng)為,面積為,
由得:,解得,當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí),,
所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為,C正確;
對(duì)于D,在正方體中,,平面,又平面,因此,
而,平面,于是有平面,又平面,
則,又直線過(guò),且直線,所以,D正確.
故選:ACD
三、填空題
13.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則_________.
【答案】
【分析】先將復(fù)數(shù)z化成的形式,再求模即可得答案.
【詳解】解:因?yàn)椋?
所以.
故答案為:.
14.已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7,乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.6,若甲、乙各投籃一次,則恰有一人命中的概率是 __.
【答案】/
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,以及互斥事件的概率加法公式,即可求解.
【詳解】由甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.7,乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0.6,
若甲、乙各投籃一次,則恰有一人命中的概率為
故答案為:.
15.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,底面為等腰直角三角形且,若該三棱錐體積的最大值為,則其外接球的表面積為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】設(shè)球心為所在圓面的圓心為,根據(jù)球的幾何特征可知,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),為射線與球的交點(diǎn),即可根據(jù)三棱錐的體積公式求出球的半徑,從而得其外接球的表面積.
【詳解】如圖所示:設(shè)球心為所在圓面的圓心為,則平面.
因?yàn)闉榈妊苯侨切吻?,所以是中點(diǎn);所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),為射線與球的交點(diǎn),所以;因?yàn)?,設(shè)球的半徑為,所以,所以,解得:,所以球的表面積為.
故答案為:.
16.在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式:即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”,若的三邊為,,,現(xiàn)有,則為的__心.
【答案】?jī)?nèi)
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算得到,再利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可.
【詳解】,,
,
,
,分別是,方向上的單位向量,
向量平分,即平分,同理平分,
為的內(nèi)心,
故答案為:內(nèi)
四、解答題
17.蘭州市新開(kāi)的滑冰館備受年輕人的喜歡,此館的平面設(shè)計(jì)如圖所示,其中區(qū)域?yàn)樾菹^(qū),,,區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū),.現(xiàn)為了安全起見(jiàn),將滑冰區(qū)周?chē)鹱o(hù)欄.若,求護(hù)欄的長(zhǎng)度(的周長(zhǎng)).
【答案】
【分析】利用余弦定理求出的長(zhǎng),分析出為直角三角形,計(jì)算出邊、的長(zhǎng),即可求得的周長(zhǎng),即為所求.
【詳解】解:區(qū)域?yàn)樾菹^(qū),,,,
由余弦定理可得,
所以,,
所以,,所以,,
區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū),在中,,,
所以,,,
所以,的周長(zhǎng)為.
護(hù)欄的長(zhǎng)度為.
18.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽,共有道不同的題目,其中選擇題道,判斷題道,甲、乙兩人各抽一道(不重復(fù)).
(1)甲抽到選擇題且乙抽到判斷題的概率是多少?
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)記“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”為事件,列舉所有的基本事件,并確定事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得事件發(fā)生的概率;
(2)記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題,確定事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事件發(fā)生的概率.
【詳解】(1)解:記“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”為事件,
記兩道選擇題分別為、,兩道判斷題分別為、,
所有的基本事件有:、、、、、、、
、、、、,共種,
其中事件包含的基本事件有:、、、,共種,
由古典概型的概率公式可得.
(2)解:記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題,
則事件包含的基本事件有:、、、、、
、、、、,共種,
由古典概型的概率公式可得.
19.①,②,③三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并進(jìn)行解答.
已知的三邊,,所對(duì)的角分別為,,.若,______.
(1)求;
(2)求的面積.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】選①:(1);(2)或.選②:(1);(2)或.
選③:(1);(2)或.
【分析】若選①:(1)由二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可求;(2)由正弦定理求,即可得,,,由面積公式即可求面積;若選②:(1)由正弦定理化邊為角可求;(2)由正弦定理求,即可得,,,由面積公式即可求面積;若選③:(1)由余弦定理可求;(2)由正弦定理求,即可得,,,由面積公式即可求面積;
【詳解】若選①:
(1)由可得即,
所以,所以,
因?yàn)?,所?
(2)由可得,
因?yàn)?,所以或?
當(dāng)時(shí),,由可得,,
此時(shí)的面積為,
當(dāng)時(shí),,所以,
此時(shí)的面積為,
所以的面積為或.
若選②:
由可得,
因?yàn)?,所以,可得?
因?yàn)?,所以?
(2)由可得,
因?yàn)?,所以或?
當(dāng)時(shí),,由可得,,
此時(shí)的面積為,
當(dāng)時(shí),,所以,
此時(shí)的面積為,
所以的面積為或.
若選③:由可得,
由余弦定理可得,
因?yàn)?,所以?
(2)由可得,
因?yàn)?,所以或?
當(dāng)時(shí),,由可得,,
此時(shí)的面積為,
當(dāng)時(shí),,所以,
此時(shí)的面積為,
所以的面積為或.
20.如圖,中,,是正方形,平面平面,若、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)作出輔助線,得到面面平行,從而得到線面平行;
(2)由面面垂直得到線面垂直,進(jìn)而得到線線垂直,結(jié)合勾股定理逆定理得到線面垂直.
【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,.
,分別是和的中點(diǎn),
,.
又四邊形為正方形,
,從而.
平面,平面,
平面,
同理平面,又,
平面平面,
∵平面,
則平面;
(2)為正方形,
.
又平面平面,且平面平面,面,
平面,平面,則,
,,
,則,得.
又,平面,
平面;
21.甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年”知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)有、兩類(lèi)問(wèn)題,競(jìng)賽規(guī)則如下:
①競(jìng)賽開(kāi)始時(shí),甲、乙兩同學(xué)各自先從類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答,答錯(cuò)的同學(xué)本輪競(jìng)賽結(jié)束;答對(duì)的同學(xué)再?gòu)念?lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答,無(wú)論答對(duì)與否,本輪競(jìng)賽結(jié)束.
②若在本輪競(jìng)賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于個(gè),則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪.已知甲同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為,能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為.乙同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為,答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為.
(1)設(shè)“甲答對(duì)個(gè),個(gè),個(gè)問(wèn)題”分別記為事件、、,求事件、、的概率;
(2)求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率.
【答案】(1),,
(2)
【分析】(1)利用對(duì)立事件的概率公式可求得的值,利用獨(dú)立事件的概率公式可求得、的值;
(2)設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)個(gè)、個(gè)問(wèn)題”別記為事件、,計(jì)算出、的值,利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】(1)解:甲同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為,能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為,
,,.
(2)解:設(shè)“乙同學(xué)答對(duì)個(gè)、個(gè)問(wèn)題”別記為事件、,
乙同學(xué)能答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為,答對(duì)類(lèi)中問(wèn)題的概率為.
,,
設(shè)事件表示““星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪”,
,
故“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率為.
22.如圖,在三棱錐中,底面.
(1)證明:平面平面;
(2)若,直線與平面所成角的大小為,求的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】(1)由線面垂直得到,再由,即可得到平面,從而得證;
(2)過(guò)點(diǎn)A作,垂足為H,連接,由面面垂直的性質(zhì)得到平面,即可得到就是直線與平面所成角,再由銳角三角函數(shù)及勾股定理計(jì)算可得;
【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫?,平面?
所以,
因?yàn)椋?,平面,所以平面?
又平面,
所以平面平面.
(2)解:過(guò)點(diǎn)A作,垂足為H,連接.
由(1)知平面平面,
又,平面平面,平面,
所以平面,
所以就是直線與平面所成角,
即.
在中,,故.
在中,.
在中,因?yàn)?,所以,即?
所以為等腰直角三角形,
所以.