2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷【含答案】

2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，則A∩B＝（　?。? A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{3} 【分析】利用集合交集的定義求解即可． 【解答】解：因?yàn)榧螦＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}， 所以A∩B＝{1，2，3}． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題． 2．（4分）如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，那么b＝（　?。? A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部與虛部相等求得b值． 【解答】解：∵的實(shí)部與虛部相等， ∴b＝﹣2． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 3．（4分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝1，S9＝18，則a1＝（　?。? A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先由題設(shè)求得a5，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果． 【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5， ∴a5＝2， 又a3＝1， ∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2， ∴a1＝0， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題． 4．（4分）已知圓x2+y2＝4截直線y＝kx+2所得弦的長度為，則實(shí)數(shù)k＝（　?。? A． B． C． D． 【分析】求出圓的圓心與半徑，利用弦長，推出弦心距，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可． 【解答】解：圓x2+y2＝4截直線y＝kx+2所得弦的長度為， 可得弦心距為：＝1， 所以：，解得k＝． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題． 5．（4分）已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線C的漸近線方程為（　　） A． B． C． D．y＝±2x 【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的離心率e＝2可得c＝2a，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得b＝a，由此求解雙曲線的漸近線方程． 【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的離心率為2， 其焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線方程為y＝±x， 又由其離心率e＝＝2，則c＝2a， 則b＝＝a，即＝， 則其漸近線方程y＝±x； 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析焦點(diǎn)的位置，確定雙曲線的漸近線方程，是中檔題． 6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，則B＝（　?。? A． B． C． D． 【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果． 【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0， 所以， 由于B∈（0，π）， 所以B＝． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．（4分）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐最長的棱長為（　?。? A．2 B． C． D． 【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的各個棱長，從而確定結(jié)果． 【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐A﹣BCD； 如圖所示： 所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，三棱錐的棱長的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題． 8．（4分）在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【分析】解法一：對角分類討論，利用正切和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論． 解法二：tanAtanB＜1?1﹣＞0?cosAcosBcosC＜0?△ABC為鈍角三角形，即可判斷出結(jié)論． 【解答】解：解法一：（1）若C為鈍角，則A，B為銳角，∴tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tanAtanB＜1． 若A或B為鈍角，則tanAtanB＜1成立． （2）若tanAtanB＜1成立，假設(shè)A或B為鈍角，則△ABC為鈍角三角形． 假設(shè)A，都B為銳角，tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形． 綜上可得：在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件． 解法二：tanAtanB＜1?1﹣＞0?＞0?cosAcosBcosC＜0?△ABC為鈍角三角形． ∴在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了分類討論、正切和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 9．（4分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是直線l上的動點(diǎn)．若點(diǎn)A在拋物線C上，且|AF|＝5，則|PA|+|PO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（　?。? A．8 B． C． D．6 【分析】不妨設(shè)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，坐標(biāo)為（a，b），由拋物線的定義可得|AF|＝a+1＝5，解得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點(diǎn)為A′（﹣6，4），由對稱性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案． 【解答】解：不妨設(shè)A為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，坐標(biāo)為（a，b） 由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（1，0）， 則|AF|＝a+1＝5，解得a＝4， 所以A（4，4）， 所以點(diǎn)A關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點(diǎn)為A′（﹣6，4）， 故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)A′，P，O三點(diǎn)共線時，等號成立， 即|PA|+|PO|的最小值為2． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查圖形的對稱性，拋物線的定義，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題． 10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BC1上的點(diǎn)，過A1的平面α與直線PD垂直．當(dāng)P在線段BC1上運(yùn)動時，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積的最小值是（　?。? A．1 B． C． D． 【分析】畫出圖形，判斷截面的位置，結(jié)合正方體的特征，轉(zhuǎn)化求解截面面積的最小值即可． 【解答】解：當(dāng)P在B點(diǎn)時，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：1×＝是最大值； 當(dāng)P與C1重合時，DC1⊥平面A1D1CB， 平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：1×＝是最大值 當(dāng)P由B向C1移動時，平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移動， 當(dāng)P到BC1的中點(diǎn)時，取得最小值，如圖 此時E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為D1C1的中點(diǎn)，（P在底面ABCD上的射影為DH，H是BC的中點(diǎn)，此時EC⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可證明DP⊥平面A1ECF）， A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四邊形A1ECF是菱形， 所以平面α截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面積：＝． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直，截面面積的最小值問題，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是難題． 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分． 11．（5分）在（x+）8的展開式中，x4的系數(shù)為　28　．（用數(shù)字作答） 【分析】求出展開式的通項(xiàng)，然后令x的指數(shù)為2，求出r的值，由此即可求解． 【解答】解：展開式的通項(xiàng)為T， 令8﹣2r＝4，解得r＝2， 所以x4的系數(shù)為C， 故答案為：28． 【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 12．（5分）已知函數(shù)則f（0）＝　1?。籪（x）的值域?yàn)??。ī仭?，2）?。? 【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可求出f（0），利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可． 【解答】解：f（0）＝20＝1， 當(dāng)x＜1時，0＜2x＜2，此時0＜f（x）＜2， 當(dāng)x≥1時，log2x≥0，則﹣log2x≤0，即此時f（x）≤0， 綜上f（x）＜2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī仭蓿?）， 故答案為：1，（﹣∞，2）． 【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題． 13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，?＜0，則向量的坐標(biāo)可以是 ?。ǎ。▽懗鲆粋€即可） 【分析】利用已知條件畫出圖形，判斷向量的坐標(biāo)的位置，即可寫出結(jié)果． 【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，?＜0，如圖，可知向量的坐標(biāo)可以是黑色圓弧上的任意一點(diǎn)，向量的坐標(biāo)可以是（，）． 故答案為：（，）． 【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題． 14．（5分）李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件A商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對A商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出A商品的件數(shù)m（單位：萬件）與廣告費(fèi)用x（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費(fèi)用x應(yīng)投入　3　萬元． 【分析】由題意知，每售出1萬件A商品獲利8萬元，可得售出m萬件A商品的總獲利為24﹣，設(shè)f（x）＝24﹣（x≥0），利用導(dǎo)數(shù)求最值得答案． 【解答】解：由題意知，每售出1萬件A商品獲利8萬元， ∴售出m萬件A商品的總獲利為： 8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣， 設(shè)f（x）＝24﹣（x≥0）， 則f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0， 即＞0（x≥0）， 解得0≤x＜3， ∴當(dāng)0≤x＜3時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，3）單調(diào)遞增， 當(dāng)x＞3時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞減， 則當(dāng)x＝3時，函數(shù)f（x）取得極大值，即最大值， ∴要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費(fèi)用x應(yīng)投入3萬元． 故答案為3． 【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題． 15．（5分）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于x0∈R，令xn＝f（xn﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整數(shù)k使得xk＝x0，且當(dāng)0＜j＜k時，xj≠x0，則稱x0是f（x）的一個周期為k的周期點(diǎn)．給出下列四個結(jié)論： ①若f（x）＝ex﹣1，則f（x）存在唯一一個周期為1的周期點(diǎn)； ②若f（x）＝2（1﹣x），則f（x）存在周期為2的周期點(diǎn)； ③若f（x）＝則f（x）不存在周期為3的周期點(diǎn)； ④若f（x）＝x（1﹣x），則對任意正整數(shù)n，都不是f（x）的周期為n的周期點(diǎn)． 其中所有正確結(jié)論的序號是?、佗堋。? 【分析】由周期點(diǎn)的定義，可得直線y＝x與y＝f（x）存在交點(diǎn)．分別對選項(xiàng)分析，結(jié)合函數(shù)的最值和函數(shù)值的符號，可得結(jié)論． 【解答】解：對于x0∈R，令xn＝f（xn﹣1）（n＝1，2，3，…）， 若存在正整數(shù)k使得xk＝x0，且當(dāng)0＜j＜k時，xj≠x0， 則稱x0是f（x）的一個周期為k的周期點(diǎn)． 對于①f（x）＝ex﹣1，當(dāng)k＝1時，x1＝f（x0）＝ex0﹣1， 因?yàn)橹本€y＝x與y＝f（x）只有一個交點(diǎn)（1，1），故①正確； 對于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2時，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2， 由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，xn＝，不滿足當(dāng)0＜j＜k時，xj≠x0， 所以f（x）不存在周期為2的周期點(diǎn)，故②不正確； 對于③，當(dāng)，，，滿足題意， 故存在周期為3的周期點(diǎn)，故③錯誤， 對于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜， 所以不是周期點(diǎn)，故④正確． 故答案為：①④． 【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的新定義的理解和運(yùn)用，主要是周期點(diǎn)的定義，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題． 三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 16．（13分）已知函數(shù)由下列四個條件中的三個來確定： ①最小正周期為π；②最大值為2；③；④f（0）＝﹣2． （Ⅰ）寫出能確定f（x）的三個條件，并求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 【分析】（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足條件④，則由f（0）＝Asinφ＝﹣2，推出與A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函數(shù)f（x）不能滿足條件④，由條件①，利用周期公式可求ω＝2，由條件②，可得A＝2，由條件③，可得f（﹣）＝0，結(jié)合范圍0＜φ＜，可求φ＝，可得函數(shù)解析式． （Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足條件④，則f（0）＝Asinφ＝﹣2， 這與A＞0，0＜φ＜矛盾，故函數(shù)f（x）不能滿足條件④， 所以函數(shù)f（x）只能滿足條件①，②，③， 由條件①，可得＝π， 又因?yàn)棣兀?，可得ω＝2， 由條件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ） 由條件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0， ∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z， ∴φ＝+kπ，k∈Z，又因?yàn)?＜φ＜，所以φ＝， 所以f（x）＝2sin（2x+）． （Ⅱ） 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， ∴﹣+kπ≤x≤+kπ， ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）． 【點(diǎn)評】本題主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，O是AD邊的中點(diǎn)，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2． （Ⅰ）求證：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值． 【分析】（Ⅰ）先證明四邊形ABCO是平行四邊形，即可得到AB∥OC，由線面平行的判定定理證明即可； （Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面BAP的法向量，由向量的夾角公式求解即可． 【解答】（Ⅰ）證明：在四邊形ABCD中，因?yàn)锽C∥AD，， O是AD的中點(diǎn)，則BC∥AO，BC＝AO， 所以四邊形ABCO是平行四邊形，所以AB∥OC， 又因?yàn)锳B?平面POC，CO?平面POC， 所以AB∥平面POC； （Ⅱ）連結(jié)OB，因?yàn)镻O⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD， 又因?yàn)辄c(diǎn)O時AD的中點(diǎn)，且，所以BC＝OD， 因?yàn)锽C∥AD，CD⊥AD，BC＝CD， 所以四邊形OBCD是正方形，所以BO⊥AD， 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 所以， 設(shè)平面BAP的法向量為， 則，即，令y＝1，則x＝z＝﹣1，故， 因?yàn)镺B⊥平面PAD， 所以是平面PAD的一個法向量， 所以＝， 由圖可知，二面角B﹣AP﹣D為銳角， 所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值為． 【點(diǎn)評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的判定定理的應(yīng)用，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題． 18．（14分）我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口全部脫貧，消除了絕對貧困．為了解脫貧家庭人均年純收入情況，某扶貧工作組對A，B兩個地區(qū)2019年脫貧家庭進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，共抽取500戶家庭作為樣本，獲得數(shù)據(jù)如表： A地區(qū) B地區(qū) 2019年人均年純收入超過10000元 100戶 150戶 2019年人均年純收入未超過10000元 200戶 50戶 假設(shè)所有脫貧家庭的人均年純收入是否超過10000元相互獨(dú)立． （Ⅰ）從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計(jì)該家庭2019年人均年純收入超過10000元的概率； （Ⅱ）在樣本中，分別從A地區(qū)和B地區(qū)2019年脫貧家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記X為這2戶家庭中2019年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶，發(fā)現(xiàn)這4戶家庭2020年人均年純收入都超過10000元．根據(jù)這個結(jié)果，能否認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年有變化？請說明理由． 【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可； （Ⅱ）確定X的取值，分別求解其概率，然后列出分布列求出數(shù)學(xué)期望即可； （Ⅲ）先通過2019年的樣本數(shù)據(jù)可得0.012，然后據(jù)此說明理由即可． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件C：從A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 從表格數(shù)據(jù)可知，A地區(qū)抽出的300戶家庭中2019年人均年收入超過10000元的有100戶， 因此P（C）可以估計(jì)為＝； （Ⅱ）設(shè)事件A：從樣本中A地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 設(shè)事件B：從樣本中B地區(qū)2019年脫貧家庭中隨機(jī)抽取1戶，該家庭2019年人均純收入超過10000元， 由題意可知，X的可能取值為0，1，2， ＝， ＝＝， ＝， 所以X的分布列為： X 0 1 2 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝＝； （Ⅲ）設(shè)事件E為“從樣本中A地區(qū)的300戶脫貧家庭中隨機(jī)抽取4戶， 這4戶家庭2020年人均年純收入都超過10000元”， 假設(shè)樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年沒有變化， 則由2019年的樣本數(shù)據(jù)可得0.012． 答案示例1：可以認(rèn)為有變化，理由如下： P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為樣本中A地區(qū)2020年人均年純收入超過10000元的戶數(shù)相比2019年發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化． 答案示例2：無法確定有沒有變化，理由如下： 事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化． 【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列以及離散型隨機(jī)變量的期望，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題． 19．（15分）已知橢圓C的短軸的兩個端點(diǎn)分別為A（0，1），B（0，﹣1），離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）若點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)且與直線MA平行的直線與直線y＝3交于點(diǎn)P，直線MB與直線y＝3交于點(diǎn)Q，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由． 【分析】（Ⅰ）由題意可得b的值，再由離心率及a，b，c之間的關(guān)系求出a的值，進(jìn)而求出橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線MA的方程，由題意可得直線OP的方程，與y＝3聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，將直線AM的方程與橢圓聯(lián)立求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BM的方程，與y＝3聯(lián)立求出Q的坐標(biāo)，設(shè)以PQ為直徑的圓的方程過T點(diǎn)，可得數(shù)量積＝0，求出T的坐標(biāo)，即圓過的定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解（Ⅰ）由題意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2， 解得a2＝3， 所以橢圓的方程為：+y2＝1，且焦點(diǎn)坐標(biāo)（±，0）； （Ⅱ） 設(shè)直線MA的方程為：y＝kx+1，（k≠0） 則過原點(diǎn)的直線且與直線MA平行的直線為y＝kx， 因?yàn)镻是直線y＝kx，y＝3的交點(diǎn)，所以P（，3）， 因?yàn)橹本€AM的方程與橢圓方程+y2＝1聯(lián)立： ，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0， 可得xM＝﹣，yM＝+1＝， 即M（﹣，），因?yàn)锽（0，﹣1）， 直線MB的方程為：y＝﹣﹣1， 聯(lián)立，解得：y＝3，x＝﹣12k， 由題意可得Q（﹣12k，3）， 設(shè)T（x0，y0）， 所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3）， 由題意可得以線段PQ為直徑的圓過T點(diǎn)，所以＝0， 所以（x0﹣，y0﹣3）?（x0+12k，y0﹣3）＝0， 可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①， 要使①成立， ，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9， 所以T的坐標(biāo)（0，﹣3）或（0，9）． 【點(diǎn)評】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，以線段為直徑的圓的方程恒過定點(diǎn)可得數(shù)量積為0的性質(zhì)，屬于中檔題． 20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（ax﹣1）ex（a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若直線y＝ax+a與曲線y＝f（x）相切，求證：a∈（﹣1，）． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線和f（x）相切，得到a＝，結(jié)合y＝的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）ex，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a， 當(dāng)a＝0時，f′（x）＝﹣ex＜0，y＝f（x）在R單調(diào)遞減， 當(dāng)a＞0時，x，f′（x），f（x）的變化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 遞減 極小值 遞增 當(dāng)a＜0時，x，f′（x），f（x）的變化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 遞增 極大值 遞減 綜上：當(dāng)a＝0時，y＝f（x）在R單調(diào)遞減， 當(dāng)a＞0時，y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）， 當(dāng)a＜0時，y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，+∞）； （Ⅱ）證明：由題意得f′（x）＝（ax+a﹣1）ex， 設(shè)直線y＝ax+a與曲線y＝f（x）相切于點(diǎn)（x0，y0）， 則， 由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0， 若a＝0，則f（x）＝﹣ex，ax+a＝0， 直線y＝0與曲線y＝f（x）不相切，不符合題意， 所以a≠0，所以+x0＝0，③， 令φ（x）＝ex+x，則φ′（x）＝ex+1＞0，故φ（x）單調(diào)遞增， ∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0， 故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0， 將③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0， 故a＝＝， 易知在（﹣1，﹣）內(nèi)y＝x++1單調(diào)遞減，且x++1＜0， 故y＝在（﹣1，﹣）內(nèi)單調(diào)遞增， ∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）． 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是難題． 21．（15分）設(shè)數(shù)列Am：a1，a2，…，am（m≥2），若存在公比為q的等比數(shù)列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，則稱數(shù)列Bm+1為數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”． （Ⅰ）寫出數(shù)列A4：3，6，12，24的一個“等比分割數(shù)列”B5； （Ⅱ）若數(shù)列A10的通項(xiàng)公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割數(shù)列”B11的首項(xiàng)為1，求數(shù)列B11的公比q的取值范圍； （Ⅲ）若數(shù)列Am的通項(xiàng)公式為an＝n2（n＝1，2，…，m），且數(shù)列Am存在“等比分割數(shù)列”，求m的最大值． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)“等比分割數(shù)列”的定義即可求解； （Ⅱ）根據(jù)定義可得qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10），從而求得q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1時顯然成立，當(dāng)n＝2，3，…，10時，將qn﹣1＜2n轉(zhuǎn)化為q＜，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得q的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)Bm+1是數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”，首項(xiàng)為b1，公比為q，由定義可得b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝1，2，…，m），設(shè)m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，當(dāng)m＝5時，取b1＝0.99，q＝2.09，滿足定義，從而得解． 【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)定義可得數(shù)列A4：3，6，12，24的一個“等比分割數(shù)列” B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一） （Ⅱ）由題意可得，qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10）， 所以q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10）， 當(dāng)n＝1時，1＜2成立； 當(dāng)n＝2，3，…，10時，應(yīng)有q＜成立， 因?yàn)閥＝2x在R上單調(diào)遞增，所以＝隨著n的增大而減小，故q＜， 綜上，q的取值范圍是（2，）． （Ⅲ）設(shè)Bm+1是數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”，首項(xiàng)為b1，公比為q， 由題意，應(yīng)有b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝1，2，…，m），顯然b1＞0，q＞0， 設(shè)m≥6，此時有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…． 所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2， 又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，與b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5， 又當(dāng)m＝5時，取b1＝0.99，q＝2.09， 可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095， 所以m＝5時成立， 綜上，m的最大值為5． 【點(diǎn)評】本題主要考查新定義，數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．