高等數(shù)學(xué)高斯公式

目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 *三、通量與散度三、通量與散度 高斯公式 *通量與散度 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù) P,Q,R 在面 所圍成,則有(Gauss 公式公式)高斯 的方向取外側(cè),設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明稱為XY-型區(qū)域,則定理1 設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以若 不是 XY型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè) XY型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證 三式相加,即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1其中 為柱面閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解解利用Gauss 公式,得原式=及平面 z=0,z=3 所圍空間思考思考:若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?利用質(zhì)心公式,注意用Gauss 公式計(jì)算 這里若 改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2其中 為錐面解解取上側(cè)介于z=0及 z=h 之間部分的下側(cè),為法向量的方向角.所圍區(qū)域?yàn)?則 利用Gauss 公式計(jì)算積分作輔助面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用質(zhì)心公式,注意思考思考:提示提示:介于平面 z=0 及 z=2之間部分的下側(cè).先二后一計(jì)算曲面積分作取上側(cè)的輔助面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 設(shè) 為曲面取上側(cè),求 解解 作取下側(cè)的輔助面用用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)用用極坐標(biāo)極坐標(biāo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明格林(Green)第一公式 例例4其中 是整個(gè) 邊界面的外側(cè).注意注意:高斯公式設(shè)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:高斯公式證證由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型連通區(qū)域的類型 設(shè)有空間區(qū)域 G,若 G 內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G,則稱 G 為空間二維單連通域;若 G 內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面,則稱 G 為例如例如,球面所圍區(qū)域 環(huán)面所圍區(qū)域 立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域 不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但空間一維單連通域.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.閉曲面積分為零的充要條件閉曲面積分為零的充要條件定理定理2 在空間二維單 連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為G內(nèi)任一閉曲面,則證證根據(jù)高斯公式可知是的充分條件.的充要條件是:“必要性”.用反證法.已知成立,“充分性”.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因P,Q,R 在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則存在鄰域 則由 與矛盾,故假設(shè)不真.因此條件是必要的.取外側(cè),高斯公式得 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*三、通量與散度三、通量與散度引例引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設(shè) 為場中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面 的流量為 則由對坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 為方向向外的閉曲面,當(dāng) 0 時(shí),說明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時(shí),說明流入 的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過 的流量為 當(dāng)=0 時(shí),說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等.流出的,表明 內(nèi)有泉;表明 內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方向向外的任一閉曲面,記 所圍域?yàn)?設(shè) 是包含點(diǎn) M 且為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性,在式兩邊同除以 的體積 V,并令 以任意方式縮小至點(diǎn) M 則有此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M 的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或 0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義 設(shè)有向量場其中P,Q,R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場內(nèi)的一片有向 則稱 曲面,其單位法向量 n,為向量場 A 通過在場中點(diǎn) M(x,y,z)處 記作顯然有向曲面 的通量(流量).稱為向量場 A 在點(diǎn) M 的 散度.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場 A 處處有 例如,勻速場 故它是無源場.說明說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且散度意義 ,則稱 A 為 無源場.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 5解解穿過曲面 流向上側(cè)的通量,其中 為柱面被平面截下的有限部分.則 上側(cè)的法向量為在 上故所求通量為求向量場記目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.*通量與散度 設(shè)向量場P,Q,R,在域G 內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù),則 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為(n 為 的單位法向量）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補(bǔ)充題補(bǔ)充題所圍立體 的體 是 外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證證則的夾角,積為V,設(shè) 是一光滑閉曲面,設(shè) 的單位外法向量為