高等數(shù)學高斯公式

物理意義物理意義-與與散度散度小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) flux divergence第六節(jié)第六節(jié) 高斯高斯 (Gauss)與與散度散度Gauss,K.F.(17771855)德國數(shù)學家、物理學家、天文學家德國數(shù)學家、物理學家、天文學家1 格林公式格林公式把平面上的把平面上的閉曲線積分閉曲線積分與與本節(jié)的本節(jié)的高斯公式高斯公式表達了空間閉曲面表達了空間閉曲面上的上的曲面積分曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的與曲面所圍空間區(qū)域上的它有明確的物理背景它有明確的物理背景三重積分三重積分的關系的關系.所圍區(qū)域的所圍區(qū)域的二重積分二重積分聯(lián)系聯(lián)系起來起來.通量與散度通量與散度.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度2一、高一、高 斯斯 公公 式式高斯公式稱為奧高公式高斯公式稱為奧高公式,或奧斯特洛格拉斯基或奧斯特洛格拉斯基公式公式.(俄俄)1801 1861具有具有則有公式則有公式一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù),或或 高斯公式高斯公式外側外側,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度3 證明思路證明思路 分別證明以下三式分別證明以下三式,從而完成定理證明從而完成定理證明.只證其中第三式只證其中第三式,其它兩式可完全類似地證明其它兩式可完全類似地證明.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度4證證 設空間區(qū)域設空間區(qū)域母線平行于母線平行于z軸的柱面軸的柱面.即邊界面即邊界面三部分組成三部分組成:(取下側取下側)(取上側取上側)(取外側取外側)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度5由由三重積分三重積分的計算法的計算法投影法投影法(先一后二法先一后二法)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度6 由由曲面積分曲面積分的計算法的計算法取取下下側側,取取上上側側,取取外外側側 一投一投,二代二代,三定號三定號高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度7于是于是高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度8同理同理合并以上三式得合并以上三式得自自己己證證高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度9高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度若區(qū)域若區(qū)域的邊界曲面的邊界曲面 與任一平行于坐標軸與任一平行于坐標軸的直線的交點多于兩點時的直線的交點多于兩點時,可以引進幾張輔助的可以引進幾張輔助的曲面把曲面把分為有限個閉區(qū)域分為有限個閉區(qū)域,使得每個閉區(qū)域滿使得每個閉區(qū)域滿足假設條件足假設條件,并注意到沿輔助曲面相反兩側的兩并注意到沿輔助曲面相反兩側的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反個曲面積分的絕對值相等而符號相反,相加時正相加時正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正確的確的.10由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知高斯公式為計算高斯公式為計算(閉閉)曲面積分提供了曲面積分提供了它能簡化曲面積分的計算它能簡化曲面積分的計算.一個新途徑一個新途徑,表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度高斯高斯Gauss公式的實質公式的實質11解解 球球 例例外側外側.因因是閉曲面是閉曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式計算計算.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度12使用使用Guass公式時易出的差錯公式時易出的差錯:(1)搞不清搞不清是對什么變量求偏導是對什么變量求偏導;(2)不滿足高斯公式的條件不滿足高斯公式的條件,用公式計算用公式計算;(3)忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取閉曲面的取閉曲面的外側外側.高斯公式高斯公式高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度13有時可作有時可作輔助面輔助面,(將輔助面上的積分減去將輔助面上的積分減去).化為閉曲面的曲面積分化為閉曲面的曲面積分,然后利用然后利用高斯公式高斯公式.對有的對有的 非閉曲面非閉曲面的曲面積分的曲面積分,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度14例例 計算曲面積分計算曲面積分之間之間下側下側.的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度部分的部分的解解 空間曲面空間曲面在在xOy面上的面上的曲面曲面 不是不是 為利用高斯公式為利用高斯公式.投影域為投影域為補補構成構成封閉曲面封閉曲面,使用使用高斯公式高斯公式.封閉曲面封閉曲面,15由對稱性由對稱性高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度先先二二后后一一法法16故所求積分為故所求積分為高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度yxyxSdddd001d=+=17利用利用高斯公式高斯公式計算三重積分計算三重積分提示提示則則取取高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度考慮到考慮到選取相當自由，選取相當自由，18由高斯公式由高斯公式極坐標極坐標高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度19 被積函數(shù)中有抽象函數(shù)被積函數(shù)中有抽象函數(shù),故無法直接計算故無法直接計算.如直接計算如直接計算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例是錐面是錐面所圍立體的表面所圍立體的表面計算設計算設f(u)是有連續(xù)的導數(shù)是有連續(xù)的導數(shù),計算計算和球面和球面及及外側外側.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度20解解 由于由于故由故由高斯公式高斯公式=球球高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度21解解(如圖如圖)計算曲面積分計算曲面積分繞繞y軸旋轉曲面方程為軸旋轉曲面方程為一周所成的曲面一周所成的曲面,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角軸正向的夾角繞繞y軸旋轉軸旋轉高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度22取右側取右側.有有 高斯公式高斯公式柱柱坐坐標標高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度23取右側取右側故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度241.通量通量為向量場為向量場 設有一向量場設有一向量場則稱沿場中則稱沿場中有向曲面有向曲面某一側的曲面積分某一側的曲面積分:通量通量.flux divergence穿過曲面穿過曲面這一側的這一側的高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度二、物理意義二、物理意義 通量通量與與散度散度上式即為通量的計算公式上式即為通量的計算公式252.散度散度設有向量場設有向量場為場中任一點為場中任一點,在在P點的某鄰域內作一包含點的某鄰域內作一包含P點在其內的閉曲面點在其內的閉曲面它所圍成的小區(qū)域及其體積記為它所圍成的小區(qū)域及其體積記為表示表示內穿出的通量內穿出的通量,若當若當縮成縮成P點時點時,極限極限高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度記為記為散度散度.存在存在,則該極限值就稱為向量場則該極限值就稱為向量場在在P點處的點處的即即26散度的計算公式散度的計算公式設設均可導均可導,點處的散度為點處的散度為高斯公式高斯公式散度：散度：單位時間單位體積內所產生的流體質量的平單位時間單位體積內所產生的流體質量的平均值。均值。27例例 向量場向量場解解高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度28設函數(shù)設函數(shù)解解先求梯度先求梯度高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度29再求再求的散度的散度.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度設函數(shù)設函數(shù)30高斯高斯Gauss公式公式物理意義物理意義-通量通量與與散度散度高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度三、小結三、小結表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯高斯Gauss公式的實質公式的實質(注意使用的條件注意使用的條件)31思考題思考題曲面曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？應滿足什么條件才能使高斯公式成立？高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度解答解答曲面應是分片光滑的曲面應是分片光滑的閉閉曲面曲面.32作作 業(yè)業(yè)習題習題11-6(23611-6(236頁頁)1.(1)(3)(5)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度33