概念高等數(shù)學微積分

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,第6章 常微分方程,對自然界的深刻研究,傅里葉,微積分,研究的對象是函數(shù)關系,但在,實際問題中,往往很難直接得到,所研究的變量之間,的函數(shù)關系,卻,比較容易建立起,這些變量與它們的導數(shù)或微分之,間的,聯(lián)系,從而得到一個,分的方程,即,微分方程,.,通過求解,這種方程,同樣可,以找到指定未知量,之間的函數(shù)關系.,因此,微分方程是數(shù)學聯(lián),關于未知函數(shù)的導數(shù)或微,是數(shù)學最富饒的源泉.,系實際,并應用于實際,并應用于實際的重要,途徑和橋梁,是各個學科進行,科學研究的強有力,的工具.,如果,說“數(shù)學是一門理性思維的科學,是研究、,了,解和知曉現(xiàn)實,世界的工具”,那么微分方程就是,顯示數(shù)學的這種威力和,價值的一種體現(xiàn).,現(xiàn)實世界中的許,多實際問題,都可以抽象為,微分,方程問題.例如,物體,的冷卻、,琴弦的,震動,、,電磁波的,傳播等,都可以歸結(jié)為,微分方程,的問題.,人口的增長、,微分方程是,一門獨立的數(shù)學學科,有完整,的,理論體系.,本章我們主要介紹微分方程的一些,基本概念,種常用的微分方程的,求解方法,線性微分方程,解的理論.,幾,這時微分方程也稱為,所研究問題的,數(shù),學模型,.,解,一、問題的提出,6.1 微分方程的基本概念,解,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,微分方程:,凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實質(zhì):,聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關系式.,二、微分方程的定義,微分方程的階:,微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最,高階導數(shù)的階數(shù)稱之.,分類1,:常微分方程,偏常微分方程.,一階微分方程,高階(,n,)微分方程,分類2:,分類3,:線性與非線性微分方程.,分類4,:單個微分方程與微分方程組.,微分方程的解:,代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.,微分方程的解的分類：,三、主要問題-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象:,微分方程的積分曲線.,通解的圖象:,積分曲線族.,初始條件:,用來確定任意常數(shù)的條件.,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題:,求微分方程滿足初始條件的解的問題.,求所滿足的微分方程.,例2.,已知曲線上點,P,(,x,y,)處的法線與,x,軸交點為,Q,解:,如圖所示,令,Y,=0,得,Q,點的橫坐標,即,點,P,(,x,y,)處的法線方程為,且線段,PQ,被,y,軸平分,解,所求特解為,補充:,微分方程的初等解法:,初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),例5,求曲線族,滿足的微分方程,其中,為任意常數(shù).,解,求曲線族所滿足的方程,就是求一微分方程,所給的曲線族,正好是該微分方程的積分曲線族.,此所求的微分方程的階數(shù)應與,常數(shù)的個數(shù)相等.,這里,法,來得到所求的微分方程.,已知曲線族中的任意,我們通過消去任意常數(shù)的方,對,求導,得,再從,解出,代入上式得,使,因,在等式,兩端,化簡即得到所求的微分方程,微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初值問題;,積分曲線;,四、小結(jié),思考題,思考題解答,中不含任意常數(shù),故為微分方程的,特,解.,練 習 題,練習題答案,