多元微積分課件94冪級(jí)數(shù)

單擊以編輯母版標(biāo)題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第四節(jié),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,冪級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,設(shè),為定義在區(qū)間,I,上的,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),.,對(duì),若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其,收斂域,;,記為,若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為定義在區(qū)間,I,上的函數(shù),稱,收斂,發(fā)散,所有,為其,收,為其,發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其,發(fā)散域,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,為級(jí)數(shù)的,和函數(shù),并寫成,若用,令余項(xiàng),則在收斂域上有,表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前,n,項(xiàng)的和,即,在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是,x,的函數(shù),稱它,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例如,等比級(jí)數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或?qū)懽?又如,級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)發(fā)散,;,所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為,冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如,冪級(jí)數(shù),為冪級(jí)數(shù)的,系數(shù),.,即是此種情形,.,的情形,即,稱,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,發(fā) 散,發(fā) 散,收 斂,收斂,發(fā)散,定理,1.,(Abel,定理,),若冪級(jí)數(shù),則對(duì)滿足不等式,的一切,x,冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂,.,反之,若當(dāng),的一切,x,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散,.,時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿足不等式,證,:,設(shè),收斂,則必有,于是存在,常數(shù),M,0,使,阿貝爾 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng) 時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,.,也收斂,反之,若當(dāng),時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之,.,假設(shè)有一點(diǎn),滿足不等式,所以若當(dāng),滿足,且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn),故假設(shè)不真,.,的,x,原冪級(jí)數(shù)也,發(fā)散,.,時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切,則由前,也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,冪級(jí)數(shù)在,(,+),收斂,;,由,Abel,定理可以看出,中心的區(qū)間,.,用,R,表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為,則,R,=0,時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在,x,=0,收斂,;,R,=,時(shí),冪級(jí)數(shù)在,(,R,R,),收斂,;,(,R,R,),加上收斂的端點(diǎn)稱為,收斂域,.,R,稱為,收斂半徑,，,在,R,R,可能收斂也可能發(fā)散,.,外發(fā)散,;,在,(,R,R,),稱為,收斂區(qū)間,.,發(fā) 散,發(fā) 散,收 斂,收斂,發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理,2.,若,的系數(shù)滿足,證,:,1),若,0,則根據(jù)比值審斂法可知,:,當(dāng),原級(jí)數(shù)收斂,;,當(dāng),原級(jí)數(shù)發(fā)散,.,即,時(shí),1),當(dāng),0,時(shí),2),當(dāng),0,時(shí),3),當(dāng),時(shí),即,時(shí),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,系數(shù)模比值法,2),若,則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3),若,則對(duì)除,x,=0,以外的一切,x,原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意,x,原級(jí)數(shù),因此,因此,的收斂半徑為,說明,:,據(jù)此定理,因此級(jí)數(shù)的收斂半徑,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì)端點(diǎn),x=,1,的收斂半徑及收斂域,.,解,:,對(duì)端點(diǎn),x=,1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂,;,級(jí)數(shù)為,發(fā)散,.,故收斂域?yàn)?例,1,.,求冪級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例,2,.,求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域,:,解,:,(1),所以收斂域?yàn)?(2),所以級(jí)數(shù)僅在,x=,0,處收斂,.,規(guī)定,:0!=1,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例,3.,的收斂半徑,.,解,:,級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理,2,比值審斂法求收斂半徑,.,時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂半徑為,故直接由,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例,4.,的收斂域,.,解,:,令,級(jí)數(shù)變?yōu)?當(dāng),t,=2,時(shí),級(jí)數(shù)為,此級(jí)數(shù)發(fā)散,;,當(dāng),t,=2,時(shí),級(jí)數(shù)為,此級(jí)數(shù)條件收斂,;,因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,定理,3.,設(shè)冪級(jí)數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有,:,其中,以上結(jié)論可用部分和的極限證明,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,右端的收斂域可能更大,說明,:,兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比,原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多,.,例如,設(shè),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理,4,若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑,例 求 和函數(shù),則其和函,在收斂域上,連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可,逐項(xiàng)求導(dǎo),與,逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同,:,注,:,逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變,.,求導(dǎo)后在端點(diǎn)處的斂散性可能發(fā)生變化,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在端點(diǎn)處收斂,和函數(shù)在該處單側(cè)連續(xù),例,6.,的和函數(shù),解,:,易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,1,x,1,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,書上例,5,很容易用這個(gè)公式計(jì)算了,.,例,7.,求級(jí)數(shù),的和函數(shù),解,:,易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,1,及,收斂,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得,:,而,及,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例,8.,解,:,設(shè),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,而,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解,:,由例,2,可知級(jí)數(shù)的收斂半徑,R,+.,例,5.,則,故有,故得,的和函數(shù),.,因此得,設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.,求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,1),對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù),先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性,.,2),對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù),(,缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式,),求收斂半徑時(shí)直接用,比值法,或,根值法,2.,冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與,也可通過,換元,化為標(biāo)準(zhǔn)型再求,.,乘法運(yùn)算,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2),在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù),;,3),冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分,.,思考與練習(xí),1.,已知,處條件收斂,問該級(jí)數(shù)收斂,半徑是多少,?,答,:,根據(jù),Abel,定理可知,級(jí)數(shù)在,收斂,時(shí)發(fā)散,.,故收斂半徑為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2.,在冪級(jí)數(shù),中,n,為奇數(shù),n,為偶數(shù),能否確定它的收斂半徑不存在,?,答,:,不能,.,因?yàn)?當(dāng),時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,說明,:,可以證明,比值判別法成立,根值判別法成立,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,P258 2,單,3 (3)(4),作業(yè),第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,阿貝爾,(1802 1829),挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者,.,他在,22,歲時(shí)就解決了用根式解,5,次方程,的不可能性問題,他還研究了更廣的一,并稱之為阿貝爾群,.,在級(jí)數(shù)研究中,他得,到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理,.,論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開,拓了道路,.,數(shù)學(xué)家們工作,150,年,.,類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù),C.,埃爾米特曾說,:,阿貝爾留下的思想可供,后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,