2023年考研數(shù)學三真題

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1、2023年考研數(shù)學（三）真題 一． 選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目規(guī)定，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)） （1） 當時，與等價的無窮小量是（ ） . （2） 設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： ( ) .若存在，則 若存在，則 .若存在，則存在 若存在，則存在 （3） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論對的的是：（ ） . （4） 設函數(shù)連續(xù)，則二

2、次積分等于（ ） （5） 設某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達需要量和價格，假如該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲線漸近線的條數(shù)為（ ） 0 1 2 3 （7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是( ) （A） (B) （C） (D) （8）設矩陣，則A與B（ ） （A）協(xié)議，且相

3、似 (B) 協(xié)議，但不相似 (C) 不協(xié)議，但相似 (D) 既不協(xié)議，也不相似 (9)某人向同一目的獨立反復射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為 ( ) (10) 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關，分別表達X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為( ) （A） (B) (C) (D) 二、填空題：11-

4、16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 （11）. （12）設函數(shù)，則. （13）設是二元可微函數(shù)，則________. （14）微分方程滿足的特解為__________. （15）設距陣則的秩為_______. (16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為________. 三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié). （17）（本題滿分10分） 設函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性. （18）（本題滿分11分） 設二元函數(shù)

5、 計算二重積分其中 （19）（本題滿分11分） 設函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本題滿分10分） 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間. （22）（本題滿分11分） 設3階實對稱矩陣A的特性值是A的屬于的一個特性向量.記，其中E為3階單位矩陣. （Ⅰ）驗證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量； （Ⅱ）求矩陣B. （23）（本題滿分11分） 設二維隨機變量的概率密度為 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本題滿分11分） 設總體的概率密度為 .

6、 其中參數(shù)未知，是來自總體的簡樸隨機樣本，是樣本均值. （Ⅰ）求參數(shù)的矩估計量； （Ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由. 2023年考研數(shù)學（三）真題 一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目規(guī)定，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)） （7） 當時，與等價的無窮小量是（B） . （8） 設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： (D) .若存在，則 若存在，則 .若存在，則存在 若存在，則存在 （9） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖

7、形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論對的的是：（C ） . （10） 設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（B） （11） 設某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達需要量和價格，假如該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（D） 10 20 30 40 （12） 曲線漸近線的條數(shù)為（D） 0 1 2 3 （7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是

8、 (A) （A） (B) (C) (D) （8）設矩陣，則A與B（B） （A）協(xié)議，且相似 (B) 協(xié)議，但不相似 (C) 不協(xié)議，但相似 (D) 既不協(xié)議，也不相似 (9)某人向同一目的獨立反復射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為 (C) (10) 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關，分別表達X, Y的概率密度，則在

9、條件下，的條件概率密度為 (A) （A） (B) (C) (D) 二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 （11）. （12）設函數(shù)，則. （13）設是二元可微函數(shù)，則. （14）微分方程滿足的特解為. （15）設距陣則的秩為＿＿1＿＿＿. (16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為＿＿. 三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié). （17）

10、（本題滿分10分） 設函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性. 【詳解】： （18）（本題滿分11分） 設二元函數(shù) 計算二重積分其中 【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關于x軸和y軸對稱，設是D在第一象限中的部分，即 運用被積函數(shù)無論關于x軸還是關于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可得 設，其中 于是 由于，故 為計算上的二重積分，可引入極坐標滿足.在極坐標系中的方程是的方程是， ，因而 ，故 令作換元，則，于是且 ，代入即得 綜合以上計算結果可知 （19）（本題滿分11分

11、） 設函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 【詳解】：證明：(1)設在內(nèi)某點同時取得最大值，則，此時的c就是所求點.若兩個函數(shù)取得最大值的點不同則有設故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在 (2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點＝0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即. （20）（本題滿分10分） 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間. 【詳解】： 【詳解】：由于方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組 的解. 即距陣方程組(3)有解的充要條件為. 當時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公

12、共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎解系為此時的公共解為： 當時，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為： （22）（本題滿分11分） 設3階實對稱矩陣A的特性值是A的屬于的一個特性向量.記，其中E為3階單位矩陣. （Ⅰ）驗證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量； （Ⅱ）求矩陣B. 【詳解】： （Ⅰ）可以很容易驗證，于是 于是是矩陣B的特性向量. B的特性值可以由A的特性值以及B與A的關系得到，即 ， 所以B的所有特性值為－2，1，1. 前面已經(jīng)求得為B的

13、屬于－2的特性值，而A為實對稱矩陣， 于是根據(jù)B與A的關系可以知道B也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特性值的特性向量正交，設B的屬于1的特性向量為，所以有方程如下： 于是求得B的屬于1的特性向量為 因而，矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù). 矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù). （Ⅱ）由有 令矩陣， 則，所以 那么 （23）（本題滿分11分） 設二維隨機變量的概率密度為 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【詳解】： （Ⅰ），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得

14、 （Ⅱ） 當時，； 當時，； 當時， 當時， 于是 （24）（本題滿分11分） 設總體的概率密度為 . 其中參數(shù)未知，是來自總體的簡樸隨機樣本，是樣本均值. （Ⅰ）求參數(shù)的矩估計量； （Ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由. 【詳解】： （Ⅰ）記，則 ， 解出，因此參數(shù)的矩估計量為； （Ⅱ）只須驗證是否為即可，而 ，而 ，， ， 于是 因此不是為的無偏估計量.