2023年考研數(shù)學(xué)三真題

2023年考研數(shù)學(xué)（三）真題 一． 選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把所選項(xiàng)前的字母填在后邊的括號內(nèi)） （1） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是（ ） . （2） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： ( ) .若存在，則 若存在，則 .若存在，則存在 若存在，則存在 （3） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論對的的是：（ ） . （4） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（ ） （5） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達(dá)需要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價(jià)格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲線漸近線的條數(shù)為（ ） 0 1 2 3 （7）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線相關(guān)的是( ) （A） (B) （C） (D) （8）設(shè)矩陣，則A與B（ ） （A）協(xié)議，且相似 (B) 協(xié)議，但不相似 (C) 不協(xié)議，但相似 (D) 既不協(xié)議，也不相似 (9)某人向同一目的獨(dú)立反復(fù)射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為 ( ) (10) 設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表達(dá)X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為( ) （A） (B) (C) (D) 二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 （11）. （12）設(shè)函數(shù)，則. （13）設(shè)是二元可微函數(shù)，則________. （14）微分方程滿足的特解為__________. （15）設(shè)距陣則的秩為_______. (16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為________. 三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié). （17）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性. （18）（本題滿分11分） 設(shè)二元函數(shù) 計(jì)算二重積分其中 （19）（本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又＝，＝，證明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本題滿分10分） 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間. （22）（本題滿分11分） 設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特性值是A的屬于的一個(gè)特性向量.記，其中E為3階單位矩陣. （Ⅰ）驗(yàn)證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量； （Ⅱ）求矩陣B. （23）（本題滿分11分） 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為 . 其中參數(shù)未知，是來自總體的簡樸隨機(jī)樣本，是樣本均值. （Ⅰ）求參數(shù)的矩估計(jì)量； （Ⅱ）判斷是否為的無偏估計(jì)量，并說明理由. 2023年考研數(shù)學(xué)（三）真題 一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把所選項(xiàng)前的字母填在后邊的括號內(nèi)） （7） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是（B） . （8） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： (D) .若存在，則 若存在，則 .若存在，則存在 若存在，則存在 （9） 如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論對的的是：（C ） . （10） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（B） （11） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達(dá)需要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價(jià)格是（D） 10 20 30 40 （12） 曲線漸近線的條數(shù)為（D） 0 1 2 3 （7）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線相關(guān)的是 (A) （A） (B) (C) (D) （8）設(shè)矩陣，則A與B（B） （A）協(xié)議，且相似 (B) 協(xié)議，但不相似 (C) 不協(xié)議，但相似 (D) 既不協(xié)議，也不相似 (9)某人向同一目的獨(dú)立反復(fù)射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為 (C) (10) 設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表達(dá)X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為 (A) （A） (B) (C) (D) 二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 （11）. （12）設(shè)函數(shù)，則. （13）設(shè)是二元可微函數(shù)，則. （14）微分方程滿足的特解為. （15）設(shè)距陣則的秩為＿＿1＿＿＿. (16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為＿＿. 三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié). （17）（本題滿分10分） 設(shè)函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性. 【詳解】： （18）（本題滿分11分） 設(shè)二元函數(shù) 計(jì)算二重積分其中 【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關(guān)于x軸和y軸對稱，設(shè)是D在第一象限中的部分，即 運(yùn)用被積函數(shù)無論關(guān)于x軸還是關(guān)于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計(jì)算法則可得 設(shè)，其中 于是 由于，故 為計(jì)算上的二重積分，可引入極坐標(biāo)滿足.在極坐標(biāo)系中的方程是的方程是， ，因而 ，故 令作換元，則，于是且 ，代入即得 綜合以上計(jì)算結(jié)果可知 （19）（本題滿分11分） 設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又＝，＝，證明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 【詳解】：證明：(1)設(shè)在內(nèi)某點(diǎn)同時(shí)取得最大值，則，此時(shí)的c就是所求點(diǎn).若兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同則有設(shè)故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在 (2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點(diǎn)＝0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即. （20）（本題滿分10分） 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間. 【詳解】： 【詳解】：由于方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組 的解. 即距陣方程組(3)有解的充要條件為. 當(dāng)時(shí)，方程組(3)等價(jià)于方程組(1)即此時(shí)的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎(chǔ)解系為此時(shí)的公共解為： 當(dāng)時(shí)，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時(shí)方程組(3)的解為，即公共解為： （22）（本題滿分11分） 設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特性值是A的屬于的一個(gè)特性向量.記，其中E為3階單位矩陣. （Ⅰ）驗(yàn)證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量； （Ⅱ）求矩陣B. 【詳解】： （Ⅰ）可以很容易驗(yàn)證，于是 于是是矩陣B的特性向量. B的特性值可以由A的特性值以及B與A的關(guān)系得到，即 ， 所以B的所有特性值為－2，1，1. 前面已經(jīng)求得為B的屬于－2的特性值，而A為實(shí)對稱矩陣， 于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實(shí)對稱矩陣，于是屬于不同的特性值的特性向量正交，設(shè)B的屬于1的特性向量為，所以有方程如下： 于是求得B的屬于1的特性向量為 因而，矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù). 矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù). （Ⅱ）由有 令矩陣， 則，所以 那么 （23）（本題滿分11分） 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【詳解】： （Ⅰ），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 于是 （24）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為 . 其中參數(shù)未知，是來自總體的簡樸隨機(jī)樣本，是樣本均值. （Ⅰ）求參數(shù)的矩估計(jì)量； （Ⅱ）判斷是否為的無偏估計(jì)量，并說明理由. 【詳解】： （Ⅰ）記，則 ， 解出，因此參數(shù)的矩估計(jì)量為； （Ⅱ）只須驗(yàn)證是否為即可，而 ，而 ，， ， 于是 因此不是為的無偏估計(jì)量.