2021四川考研數(shù)學(xué)一真題【含答案】

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1、 2021四川考研數(shù)學(xué)一真題試卷 一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上.） ì ex - 1 í (1)函數(shù) f (x)= ? x , x 1 0 ,在 x = 0 處 ?? 1, x = 0 (A)連續(xù)且取極大值. (B)連續(xù)且取極小值. (C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為 0. (D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為 0. D. 因?yàn)閘im f (x)= lim ex - 1 =1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)； x?0 x?0

2、 x f (x) - f (0) ex - 1 - 1 x e x -1 - x 1 ￠?1 因?yàn)閘im = lim =lim = ，故 f (0) = ，正確答案為 D. x?0 x - 0 x?0 x - 0 x?0 x 2 2 2 (2)設(shè)函數(shù) f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，則 df (1,1) = (A) dx + dy . (B) dx - dy . (C) dy . (D) -dy . C. 1

3、2 f ￠(x +1, ex ) + ex f ￠(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1) ① 1 2 f ￠(x, x2 ) + 2xf ￠(x, x2 ) = 4x ln x + 2x ② ìx = 0 ìx = 1 分別將í y = 0 ， í y = 1 帶入①②式有 ? ? f1￠(1,1) + f2￠(1,1) = 1 ， f1￠(1,1) + 2 f2￠(1,1) = 2 聯(lián)立可得 f1￠(1,1) = 0 ， f2￠(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1￠(1,1)dx + f2￠(1,1)dy = dy ，故正確答案為

4、C. (3) 設(shè)函數(shù) f (x) = sin x 在 x = 0 處的 3 次泰勒多項(xiàng)式為ax + bx2 + cx3 ，則 1+ x2 (A) a = 1,b = 0, c = - 7 . (B) a = 1,b = 0, c = 7 . 6 (C) a = -1,b = -1, c = - 7 . (D) 6 6 a = -1,b = -1, c = 7 . 6 A. 根據(jù)麥克勞林公式有 sin x é x3 3 ù 2 3 7 3 3 f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×[1 - x +

5、o(x )] = x - x 6 + o(x ) ? ? 故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本題選 A. 6 0 (4) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，則ò1 f ( x )dx = n ? 2k -1 ? 1 n ? 2k -1 ? 1 (A) lim ? f ? ÷ . (B) lim ? f ? ÷ . n?￥ k =1 è 2n ? 2n n?￥ k =1 è 2n ? n 2n ? k -1? 1 2n ? k ? 2 (C) lim ? f ? ÷ . (D) lim ? f ? ÷

6、 × . n?￥ k =1 B. è 2n ? n x?0 k =1 è 2n ? n 【 解 析 】 由 定 積 分 的 定 義 知 ， 將 (0,1) 分 成 n 份 ， 取 中 間 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 ， 則 1 n ? 2k -1 ? 1 ò0 f (x)dx = lim S f ? 2n ÷ n , 即選 B. n?￥ k =1 è ? (5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A)

7、 2, 0 . (B)1,1 . (C) 2,1 . (D)1, 2 . B. f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3 ? 0 1 1 ? ? ÷ 所以 A = ? 1 2 1 ÷ ，故特征多項(xiàng)式為 è ? ? 1 1 0 ÷ l -1 | lE - A |= -1 -2 -1 -1 -1 -1 = (l+1)(l- 3)l l 令上式等于零，故特征值為-1，

8、3 ， 0 ，故該二次型的正慣性指數(shù)為 1，負(fù)慣性指數(shù)為 1.故應(yīng)選 B. ? 1 ? ? 1 ? ? 3 ? (6)已知a = ? 0 ÷ ，a = ? 2 ÷ ，a = ? 1 ÷ ，記b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ， 1 ? ÷ 1 ? ÷ è ? 2 ? ÷ 1 ? ÷ è ? 3 ? ÷ 2 ? ÷ è ? 1 1 2 2 1  若b1 ， b2 ， b3 兩兩正交，則l1 ， l2 依次為 5 1 (A) , . 2 2 5 1 - (B)

9、, . 2 2  (C) 5 , - 1 . 2 2  (D) - 5 , - 1 . 2 2 A. 利用斯密特正交化方法知  ? 0 ? b =a - [a2 ,b1 ]b = ? 2 ÷ ， 0 2 2 1 ? ÷ [b1,b1 ] ? ÷ è ? b =a - [a3 ,b1 ]b - [a3 ,b2 ] b ， 3 3 [b,b] 1 [b ,b ] 2 故l1 = [a3 ,b1 ] = 5 ， l 2 [b1,b1 ] 2 1 1 2 2 = [a3 ,b2 ] = 1 ，故

10、選 A. [b2 ,b2 ] 2 (7) 設(shè) A, B 為 n 階實(shí)矩陣，下列不成立的是 ? A O ? ? A AB ? è ? è ? (A) r ? O AT A÷ = 2r ( A ) (B) r ? O AT ÷ = 2r ( A ) è ? ? A BA ? ? A O ? è ? (C) r ? O AAT ÷ = 2r ( A ) C. (D) r ? BA AT ÷ = 2r ( A ) ? A O ? T è ? (A) r ? O AT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正確. (

11、B) AB 的列向量可由 A 的列線性表示，故 r ? A AB ? = r ? A O ? = r (A) + r (AT ) = 2r (A). ? O AT ÷ ? 0 AT ÷ è ? è ? (C) BA 的列向量不一定能由 A 的列線性表示. (D) BA 的行向量可由 A 的行線性表示， r ? A BA? = r ? A O ? = r (A) + r (AT ) = 2r (A). ? O AT ÷ ? 0 AT ÷ 本題選 C. è ? è ? (8) 設(shè) A ， B 為隨機(jī)事件，且0 < P(B) < 1，下列命題中不成立的是 (A)

12、若 P( A | B) = P( A) ，則 P( A | B) = P( A) . (B) 若 P( A | B) > P( A) ，則 P( A | B) > P( A) (C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，則 P( A | B) > P( A) . (D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，則 P( A) > P(B) . D. = = P( A( A U B） P( A | A U B) P( A U B) P( A) P( A) + P(B) - P( AB) P( A | A U

13、 B) = P( A( A U B） = P( A U B)  P( AB) = P( A U B) P(B) -P( AB) P( A) + P(B) - P( AB) 因?yàn)?P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正確答案為 D. 1 1 2 2 (9) 設(shè) ( X ,Y ), ( X ,Y ),L, (X ,Y ) 為來自總體 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 令 n n 1 2 1 2 1 n 1 n ?

14、 q= m1 - m2 , X = n ? X i ,Y = n ?Yi ,q= X - Y , 則 i=1 i=1 s2 +s2 n (A) q? 是q的無偏估計(jì)， D (q?) = 1 2 ? ( ?) 1 2 s2 +s2 (B) q不是q的無偏估計(jì)， D q = n ? ( ?) 1 2 1 2 s2 +s2 - 2rss (C) q是q的無偏估計(jì)， D q = n ? ( ?) 1 2 1 2 s2 +s2 - 2rss (D) q不是q的無偏估計(jì)， D q = n C. 因?yàn)?X ,

15、Y 是二維正態(tài)分布，所以 X 與Y 也服從二維正態(tài)分布，則 X - Y 也服從二維正態(tài)分布，即 E(q?) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q， q s2 +s 2 - 2rss D( ?) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 1 2 1 2 ，故正確答案為 C. n (10) 設(shè) X1 , X 2 K, X16 是來自總體 N (m, 4) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題： H0 : m￡ 10, H1 : m> 10. F ( x) 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函

16、數(shù)，若該檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃 = {X 3 11} ， 1 16 其中 X = ? X i ，則m= 11.5 時(shí)，該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率為 16 i=1 (A)1- F (0.5) (B)1- F (1) (C)1- F (1.5) B. 所求概率為 P{X < 11} (D) 1- F (2) X : N (11.5, 1) ， 4 ì ?ü P{X < 11} = P ? X -11.5 ￡ 11-11.5? = 1- F(1) í 1 1 y ? ? 故本題選 B. ? 2 2 t 二、填空題（本題共

17、 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.） ò +￥ (11) 0 p 4 ò +￥ 0 dx = x2 + 2x + 2 dx = x2 + 2x + 2 . ò +￥ dx 0 (x +1)2 +1  = arctan( x + 1) +￥  p p p 0 = - = 2 4 4 ì x = 2et + t +1, x < 0 d 2 y ? (12)設(shè)函數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程í y = 4(t -1)et + t

18、2, x 3 0 確定,則 dx2 t =0 = ?. 2 . 3 dy  4tet + 2t  d 2 y  (4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et 由 = dx 2et +1 ，得 = dx2 ， (2et +1)3 將t = 0 帶入得  d 2 y dx2 t =0 = 2 . 3 (13)歐拉方程 x2 y ￠ + xy￠ - 4y = 0 滿足條件 y(1) = 1, y￠(1) = 2 得解為 y = ?. x2 . 令

19、 x = et ， 則 xy￠ = dy , x2 y ￠ d 2 y dy = - ， 原方程化為 d 2 y - 4 y = 0 ， 特征方程為 dt dx2 dx dx2 l2 - 4 = 0 ， 特征根為 l = 2,l = -2 ， 通解為 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 將初始條件 y(1) = 1, y￠(1) = 2 帶入得C = 1,C = 0 ，故滿足初始條件的解為 y = x2 . 1 2 (14) 設(shè) S 為 空 間 區(qū) 域 {(x, y, z) x2 + 4

20、y 2 ￡ 4, 0 ￡ z ￡ 2} òò x2dydz + y2dzdx + zdxdy = ?. S 4p.  表 面 的 外 側(cè) ， 則 曲 面 積 分 2 由高斯公式得原式= òòò (2x + 2 y +1)dV = ò0 dzòò dxdy = 4p. W D (15) 設(shè) A = aij 為 3 階矩陣， Aij 為代數(shù)余子式， 若 A 的每行元素之和均為 2 ， 且 A11 + A21 + A31 = . 3 A = 3 ， 2 . ?1? ?1?  A ?1? A?1÷ = 2 ?1÷ ,

21、Aa= la,l= 2,a= ?1÷ , 則 A* 的特征值為 ， 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ?1? ? ÷ ? ÷ 1 1 ? ÷ ? ÷ è ? è ? A  ? A11  A21 ? ÷ 1 ? ÷ è ? A31 ? l ?1? ? A11 + A21 + A31 ?  ?1? A a= ?1÷ , A*a= a而 A* = ? A A A ÷ , A* ?1÷ = ? A + A + A ÷ = ?1÷ ，即 ? ÷ l ?÷ ? ÷ ?

22、÷ l? ÷ ?1÷ ? A A A ÷ ?1÷ ? A + A + A ÷ ?1÷ è ? è? è ? è? è ? 3 A11 + A21 + A31 = 2 . (16) 甲乙兩個(gè)盒子中各裝有 2 個(gè)紅球和 2 個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中， 再從乙盒中任取一球.令 X , Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) . 1 . 5  ? (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) ?  ? 0 1 ?  ? 0 1 ? 聯(lián)合分布率( X ,Y ) : ?

23、 3 1 1 3 ÷ , X : ? 1 1 ÷ Y : ? 1 1 ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ è? è 2 2 ? è 2 2 ? cov( X ,Y ) = 1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r = 1 . 20 4 4 XY 5 三、解答題（本題共 6 小題，共 70 分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） (17)(本題滿分 10 分) ? 求極限lim ? 1+ x et2 dt ? ò 1 0 - ÷ . x?0 ? ex -

24、1 sin x ÷ è ? 1 . 2 ? ? 1+ x et 2 dt ? ò 1 ÷ 0 sin x -1- x et 2 dt ò 0 解： lim - = lim x?0 ? ex -1 sin x ÷ x?0 (ex -1) sin x è ? 又因?yàn)楱?x et2 dt = ò x (1+ t 2 + o(t 2 ）dt = x + 1 x3 + o(x3 ) ，故 0 0 3 (x - 1 x3 + o(x3 ）(1+ x + 1 x3 + o(x3 ） - x - 1 x2 + o(x

25、2 ) 原式= lim 3! 3! 2 x?0 x2 1 x2 + o(x2 ) = lim 2 = 1 . x?0 x2 2 (18)(本題滿分 12 分) - nx 1 ￥ n+1 設(shè)un (x) = e + x n(n +1) (n = 1, 2, K) ，求級(jí)數(shù)?un (x) 的收斂域及和函數(shù). n=1 ì e- x + - - + ? í S (x) = ?1 - e- x (1 x) ln(1 x) x, x (0,1) . ? e , x = 1 ?? e - 1

26、 ú 1 ￥ ￥ é - 1 ù ￥ - nx e- x S (x) = ?u (x) = ?êe nx + n(n + 1) x n+1 , 收斂域(0,1], S (x) = ?e = 1 - e- x , x ?(0,1] n ￥ n=1 n=1 ? ? n=1 S (x) = ?  1 n+1 ￥ xn+1 - ?￥ xn+1 = -x ln(1 - x) - [- ln(1 - x) - x] 2 n=1 n(n + 1)  n=1  n n=1 n + 1

27、 x = ? = (1 - x) ln(1 - x) + x, - S2 (1) = lim S2 (x) = 1 x?1 x ? (0,1) ì e- x + - - + ? S (x) = ?1 - e- x (1 x) ln(1 x) x, x (0,1) í ? e , x = 1 ?? e - 1 (19)(本題滿分 12 分) ìx2 + 2 y2 - z = 6 ? 已知曲線C : í4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的點(diǎn)到 xoy 坐標(biāo)面距離的最大值. 66 設(shè)拉格朗日函數(shù) L (

28、x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30) x z L￠ = 2xl+ 4u = 0 L￠ y = 4 yl+ 2u = 0 L￠ = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30 解得駐點(diǎn)： (4,1,12),(-8, -2, 66) C 上的點(diǎn)(-8, -2, 66) 到 xoy 面距離最大為 66. (20)(本題滿分 12 分) 設(shè) D ì R2 是有界單連通閉區(qū)域， I (D) = (1) 求 I (D1 ) 的

29、值. òò(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的積分區(qū)域記為 D . 1 D (2) 計(jì)算 ò ?D1 -p. (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 ，其中?D1 是 D1 的正向邊界. （1）由二重積分的幾何意義知： I (D) = òò(4 - x 2 - y 2 )ds，當(dāng)且僅當(dāng)4 - x2 - y2 在 D 上 D 2p 2 2 大于 0 時(shí)， I (D) 達(dá)到最大，故 D ：x2 + y2 ￡ 4 且 I (D )= dq (4 - r )rdr = 8p

30、. 1 1 ò0 ò0 (2)補(bǔ) D2 : x + 4 y = r （ r 很?。?D 的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向， 2 2 2 2 ò ?D1 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy = x2 + 4 y2 = ò ?D1 +?D2 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 - ò ?D2 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 = - 1

31、er 2 r 2 ò ?D2 xdx + 4ydy - 1 er 2 r 2 ò ?D2 ydx - xdy = 1 -2d s= -p. r òò 2 D2 (21)(本題滿分 12 分) ? a 已知 A = ? 1 1 -1? a -1÷ . ? ÷ ? -1 -1 a ÷ è ? (1) 求正交矩陣 P ,使得 PT AP 為對(duì)角矩陣； (2) 求正定矩陣C ,使得C 2 = (a + 3)E - A. - - ? 1 1 1 ? 3 2 ? 6 ÷ ? 5 ? -1 - ? 3 1÷

32、? ÷ ? ÷ (1) P = ? 1 1 1 ÷ ；(2) C = ? -1 5 1 ÷ . 3 2 6 ? ÷ ? 3 3 ÷ ? ÷ ? - 1 0 2 ÷ ? ? -1 1 5 ÷ ÷ 3 6 ? ÷ è ? è 3 3 ? l- a -1 1 (1)由 lE - A = -1 l- a 1 = (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 0 1 1 得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1 當(dāng)l1 = a + 2 時(shí) l- a ? 2 -1

33、 1 ? ? 1 0 1 ? ? 1 ? ((a + 2)E - A) = ?-1 2 1 ÷rr?0 1 1 ÷ 的特征向量為a = ? 1 ÷ ， ? ÷ ? ÷ è ? è ? ? 1 1 2 ÷ ? 0 0 0 ÷ 當(dāng)l2 = l3 = a -1所 1 ? ÷ -1 ? ÷ è ? ? -1 -1 1 ? ? 1 1 -1? ? -1? ? -1? ((a -1)E - A) = ?-1 -1 1 ÷rr?0 0 0 ÷ 的特征向量為a = ? 1 ÷ ,a = ? 1 ÷ ， ? ÷ ? ÷ 2 ? ÷ 3 ? ÷

34、 ? 1 1 -1÷ ? 0 0 0 ÷ ? 0 ÷ ? 2 ÷ è ? è ? è ? è ? 3 2 6 ? 1 - 1 - 1 ? ? a a a ? ? ÷ ? ÷ 1 1 1 ? a + 2 ? 令 P = ? 1 , 2 , 3 ÷ = ? ÷ ，則 PT AP = L = ? a - 1 ÷ ， 3 2 6 ? a a a ÷ ? ÷ ? ÷ è 1 2 3 ? ? ÷ ? a -1÷ ? - 1 0 2 ÷ è ? 3 6 ? ÷ è ? ? 1 ? (2)

35、 PT C 2 P = PT (a + 3)E - A)P = ((a + 3)E - L = ? 4 ÷ ? ÷ ? 4÷ è ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? è 4 ÷ T P 4÷ T CP = ? 2 ÷ ? ÷ ? 2÷ è ? ? 5 -1 - ? T PT CPPT CP = ÷ ， ? ? 3 1÷ ? 1 ? ? ÷ 故C = P ? 2 ÷ PT = ?-1 5 1 ÷ . ? ÷ ? 3 3 ÷ ? 2÷ ? ÷ è ? (22)(本題滿分 12 分) ?

36、 -1 è 1 5 ? 3 3 ÷ 在區(qū)間(0, 2) 上隨機(jī)取一點(diǎn)，將該區(qū)間分成兩段，較短的一段長(zhǎng)度記為 X ,較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)度記為 Y , 令 Z = Y . X (1) 求 X 的概率密度； (2) 求 Z 的概率密度. ? Y ÷ (3) 求 E ? X ? . è ? ì1, 0 < x < 1 ì 2 , z 3 1 (1) X : f (x) = í ? 0, 其他 ；(2) fZ (z) = (FZ (z）￠ = ?(z +1)2 .(3) -1+ 2 ln 2 . í ì1, 0 <

37、 x < 1 ?? 0, 其他 (1)由題知： X : f (x) = í ? ； 0, 其他 2 - X (2) 由Y = 2 - X ，即 Z = ，先求 Z 的分布函數(shù)： X F (z) = P {Z ￡ z} = P ì 2 - X ￡ z ü = P ì 2 -1 ￡ z ü Z í X y í X y ? t ? t 當(dāng) z < 1 時(shí)， FZ (z) = 0 ； 當(dāng) z 3 1 時(shí)， ì 2 ü ì 2 ü 2 2 FZ (z) = P í -1 ￡ z y = 1 - P íX ￡ y = 1 - ò z +11dx =1 - ； ? X t ? ì 2 , z 3 1 z +1t?0 z +1 í ? 2 fZ (z) = (FZ (z）￠ = (z +1) ； ?? 0, 其他 (3) E ? X ? = E ? X ? = 1 x × 1dx = -1+ 2 ln 2 . Y 2 - X ? ÷ ? ÷ è ? è ? ò0 2 - x