2021四川考研數(shù)學(xué)一真題【含答案】

2021四川考研數(shù)學(xué)一真題試卷 一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上.） ì ex - 1 í (1)函數(shù) f (x)= ï x , x ¹ 0 ,在 x = 0 處 îï 1, x = 0 (A)連續(xù)且取極大值. (B)連續(xù)且取極小值. (C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為 0. (D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為 0. D. 因?yàn)閘im f (x)= lim ex - 1 =1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 處連續(xù)； x®0 x®0 x f (x) - f (0) ex - 1 - 1 x e x -1 - x 1 ¢?1 因?yàn)閘im = lim =lim = ，故 f (0) = ，正確答案為 D. x®0 x - 0 x®0 x - 0 x®0 x 2 2 2 (2)設(shè)函數(shù) f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，則 df (1,1) = (A) dx + dy . (B) dx - dy . (C) dy . (D) -dy . C. 1 2 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1) ① 1 2 f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2x ② ìx = 0 ìx = 1 分別將í y = 0 ， í y = 1 帶入①②式有 î î f1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2 聯(lián)立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正確答案為 C. (3) 設(shè)函數(shù) f (x) = sin x 在 x = 0 處的 3 次泰勒多項(xiàng)式為ax + bx2 + cx3 ，則 1+ x2 (A) a = 1,b = 0, c = - 7 . (B) a = 1,b = 0, c = 7 . 6 (C) a = -1,b = -1, c = - 7 . (D) 6 6 a = -1,b = -1, c = 7 . 6 A. 根據(jù)麥克勞林公式有 sin x é x3 3 ù 2 3 7 3 3 f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×[1 - x + o(x )] = x - x 6 + o(x ) ë û 故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本題選 A. 6 0 (4) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，則ò1 f ( x )dx = n æ 2k -1 ö 1 n æ 2k -1 ö 1 (A) lim å f ç ÷ . (B) lim å f ç ÷ . n®¥ k =1 è 2n ø 2n n®¥ k =1 è 2n ø n 2n æ k -1ö 1 2n æ k ö 2 (C) lim å f ç ÷ . (D) lim å f ç ÷ × . n®¥ k =1 B. è 2n ø n x®0 k =1 è 2n ø n 【 解 析 】 由 定 積 分 的 定 義 知 ， 將 (0,1) 分 成 n 份 ， 取 中 間 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 ， 則 1 n æ 2k -1 ö 1 ò0 f (x)dx = lim S f ç 2n ÷ n , 即選 B. n®¥ k =1 è ø (5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A) 2, 0 . (B)1,1 . (C) 2,1 . (D)1, 2 . B. f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3 æ 0 1 1 ö ç ÷ 所以 A = ç 1 2 1 ÷ ，故特征多項(xiàng)式為 è ø ç 1 1 0 ÷ l -1 | lE - A |= -1 -2 -1 -1 -1 -1 = (l+1)(l- 3)l l 令上式等于零，故特征值為-1， 3 ， 0 ，故該二次型的正慣性指數(shù)為 1，負(fù)慣性指數(shù)為 1.故應(yīng)選 B. æ 1 ö æ 1 ö æ 3 ö (6)已知a = ç 0 ÷ ，a = ç 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，記b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ， 1 ç ÷ 1 ç ÷ è ø 2 ç ÷ 1 ç ÷ è ø 3 ç ÷ 2 ç ÷ è ø 1 1 2 2 1  若b1 ， b2 ， b3 兩兩正交，則l1 ， l2 依次為 5 1 (A) , . 2 2 5 1 - (B) , . 2 2  (C) 5 , - 1 . 2 2  (D) - 5 , - 1 . 2 2 A. 利用斯密特正交化方法知  æ 0 ö b =a - [a2 ,b1 ]b = ç 2 ÷ ， 0 2 2 1 ç ÷ [b1,b1 ] ç ÷ è ø b =a - [a3 ,b1 ]b - [a3 ,b2 ] b ， 3 3 [b,b] 1 [b ,b ] 2 故l1 = [a3 ,b1 ] = 5 ， l 2 [b1,b1 ] 2 1 1 2 2 = [a3 ,b2 ] = 1 ，故選 A. [b2 ,b2 ] 2 (7) 設(shè) A, B 為 n 階實(shí)矩陣，下列不成立的是 æ A O ö æ A AB ö è ø è ø (A) r ç O AT A÷ = 2r ( A ) (B) r ç O AT ÷ = 2r ( A ) è ø æ A BA ö æ A O ö è ø (C) r ç O AAT ÷ = 2r ( A ) C. (D) r ç BA AT ÷ = 2r ( A ) æ A O ö T è ø (A) r ç O AT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正確. (B) AB 的列向量可由 A 的列線性表示，故 r æ A AB ö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A). ç O AT ÷ ç 0 AT ÷ è ø è ø (C) BA 的列向量不一定能由 A 的列線性表示. (D) BA 的行向量可由 A 的行線性表示， r æ A BAö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A). ç O AT ÷ ç 0 AT ÷ 本題選 C. è ø è ø (8) 設(shè) A ， B 為隨機(jī)事件，且0 < P(B) < 1，下列命題中不成立的是 (A) 若 P( A | B) = P( A) ，則 P( A | B) = P( A) . (B) 若 P( A | B) > P( A) ，則 P( A | B) > P( A) (C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，則 P( A | B) > P( A) . (D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，則 P( A) > P(B) . D. = = P( A( A U B） P( A | A U B) P( A U B) P( A) P( A) + P(B) - P( AB) P( A | A U B) = P( A( A U B） = P( A U B)  P( AB) = P( A U B) P(B) -P( AB) P( A) + P(B) - P( AB) 因?yàn)?P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正確答案為 D. 1 1 2 2 (9) 設(shè) ( X ,Y ), ( X ,Y ),L, (X ,Y ) 為來自總體 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 令 n n 1 2 1 2 1 n 1 n ? q= m1 - m2 , X = n å X i ,Y = n åYi ,q= X - Y , 則 i=1 i=1 s2 +s2 n (A) q? 是q的無偏估計(jì)， D (q?) = 1 2 ? ( ?) 1 2 s2 +s2 (B) q不是q的無偏估計(jì)， D q = n ? ( ?) 1 2 1 2 s2 +s2 - 2rss (C) q是q的無偏估計(jì)， D q = n ? ( ?) 1 2 1 2 s2 +s2 - 2rss (D) q不是q的無偏估計(jì)， D q = n C. 因?yàn)?X ,Y 是二維正態(tài)分布，所以 X 與Y 也服從二維正態(tài)分布，則 X - Y 也服從二維正態(tài)分布，即 E(q?) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q， q s2 +s 2 - 2rss D( ?) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 1 2 1 2 ，故正確答案為 C. n (10) 設(shè) X1 , X 2 K, X16 是來自總體 N (m, 4) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題： H0 : m£ 10, H1 : m> 10. F ( x) 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃 = {X ³ 11} ， 1 16 其中 X = å X i ，則m= 11.5 時(shí)，該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率為 16 i=1 (A)1- F (0.5) (B)1- F (1) (C)1- F (1.5) B. 所求概率為 P{X < 11} (D) 1- F (2) X : N (11.5, 1) ， 4 ì ?ü P{X < 11} = P ï X -11.5 £ 11-11.5ï = 1- F(1) í 1 1 ý ï ï 故本題選 B. î 2 2 þ 二、填空題（本題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.） ò +¥ (11) 0 p 4 ò +¥ 0 dx = x2 + 2x + 2 dx = x2 + 2x + 2 . ò +¥ dx 0 (x +1)2 +1  = arctan( x + 1) +¥  p p p 0 = - = 2 4 4 ì x = 2et + t +1, x < 0 d 2 y î (12)設(shè)函數(shù) y = y(x) 由參數(shù)方程í y = 4(t -1)et + t 2, x ³ 0 確定,則 dx2 t =0 = ?. 2 . 3 dy  4tet + 2t  d 2 y  (4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et 由 = dx 2et +1 ，得 = dx2 ， (2et +1)3 將t = 0 帶入得  d 2 y dx2 t =0 = 2 . 3 (13)歐拉方程 x2 y ¢ + xy¢ - 4y = 0 滿足條件 y(1) = 1, y¢(1) = 2 得解為 y = ?. x2 . 令 x = et ， 則 xy¢ = dy , x2 y ¢ d 2 y dy = - ， 原方程化為 d 2 y - 4 y = 0 ， 特征方程為 dt dx2 dx dx2 l2 - 4 = 0 ， 特征根為 l = 2,l = -2 ， 通解為 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 將初始條件 y(1) = 1, y¢(1) = 2 帶入得C = 1,C = 0 ，故滿足初始條件的解為 y = x2 . 1 2 (14) 設(shè) S 為 空 間 區(qū) 域 {(x, y, z) x2 + 4 y 2 £ 4, 0 £ z £ 2} òò x2dydz + y2dzdx + zdxdy = ?. S 4p.  表 面 的 外 側(cè) ， 則 曲 面 積 分 2 由高斯公式得原式= òòò (2x + 2 y +1)dV = ò0 dzòò dxdy = 4p. W D (15) 設(shè) A = aij 為 3 階矩陣， Aij 為代數(shù)余子式， 若 A 的每行元素之和均為 2 ， 且 A11 + A21 + A31 = . 3 A = 3 ， 2 . æ1ö æ1ö  A æ1ö Aç1÷ = 2 ç1÷ , Aa= la,l= 2,a= ç1÷ , 則 A* 的特征值為 ， 對(duì)應(yīng)的特征向量為 æ1ö ç ÷ ç ÷ 1 1 ç ÷ ç ÷ è ø è ø A  æ A11  A21 ç ÷ 1 ç ÷ è ø A31 ö l æ1ö æ A11 + A21 + A31 ö  æ1ö A a= ç1÷ , A*a= a而 A* = ç A A A ÷ , A* ç1÷ = ç A + A + A ÷ = ç1÷ ，即 ç ÷ l ç÷ ç ÷ ç ÷ lç ÷ ç1÷ ç A A A ÷ ç1÷ ç A + A + A ÷ ç1÷ è ø èø è ø èø è ø 3 A11 + A21 + A31 = 2 . (16) 甲乙兩個(gè)盒子中各裝有 2 個(gè)紅球和 2 個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中， 再?gòu)囊液兄腥稳∫磺?令 X , Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) . 1 . 5  æ (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) ö  æ 0 1 ö  æ 0 1 ö 聯(lián)合分布率( X ,Y ) : ç 3 1 1 3 ÷ , X : ç 1 1 ÷ Y : ç 1 1 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ èø è 2 2 ø è 2 2 ø cov( X ,Y ) = 1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r = 1 . 20 4 4 XY 5 三、解答題（本題共 6 小題，共 70 分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） (17)(本題滿分 10 分) ç 求極限lim æ 1+ x et2 dt ö ò 1 0 - ÷ . x®0 ç ex -1 sin x ÷ è ø 1 . 2 ç æ 1+ x et 2 dt ö ò 1 ÷ 0 sin x -1- x et 2 dt ò 0 解： lim - = lim x®0 ç ex -1 sin x ÷ x®0 (ex -1) sin x è ø 又因?yàn)?#242; x et2 dt = ò x (1+ t 2 + o(t 2 ）dt = x + 1 x3 + o(x3 ) ，故 0 0 3 (x - 1 x3 + o(x3 ）(1+ x + 1 x3 + o(x3 ） - x - 1 x2 + o(x2 ) 原式= lim 3! 3! 2 x®0 x2 1 x2 + o(x2 ) = lim 2 = 1 . x®0 x2 2 (18)(本題滿分 12 分) - nx 1 ¥ n+1 設(shè)un (x) = e + x n(n +1) (n = 1, 2, K) ，求級(jí)數(shù)åun (x) 的收斂域及和函數(shù). n=1 ì e- x + - - + Î í S (x) = ï1 - e- x (1 x) ln(1 x) x, x (0,1) . ï e , x = 1 ïî e - 1 ú 1 ¥ ¥ é - 1 ù ¥ - nx e- x S (x) = åu (x) = åêe nx + n(n + 1) x n+1 , 收斂域(0,1], S (x) = åe = 1 - e- x , x Î(0,1] n ¥ n=1 n=1 ë û n=1 S (x) = å  1 n+1 ¥ xn+1 - å¥ xn+1 = -x ln(1 - x) - [- ln(1 - x) - x] 2 n=1 n(n + 1)  n=1  n n=1 n + 1 x = å = (1 - x) ln(1 - x) + x, - S2 (1) = lim S2 (x) = 1 x®1 x Î (0,1) ì e- x + - - + Î S (x) = ï1 - e- x (1 x) ln(1 x) x, x (0,1) í ï e , x = 1 ïî e - 1 (19)(本題滿分 12 分) ìx2 + 2 y2 - z = 6 î 已知曲線C : í4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的點(diǎn)到 xoy 坐標(biāo)面距離的最大值. 66 設(shè)拉格朗日函數(shù) L ( x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30) x z L¢ = 2xl+ 4u = 0 L¢ y = 4 yl+ 2u = 0 L¢ = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30 解得駐點(diǎn)： (4,1,12),(-8, -2, 66) C 上的點(diǎn)(-8, -2, 66) 到 xoy 面距離最大為 66. (20)(本題滿分 12 分) 設(shè) D Ì R2 是有界單連通閉區(qū)域， I (D) = (1) 求 I (D1 ) 的值. òò(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的積分區(qū)域記為 D . 1 D (2) 計(jì)算 ò ¶D1 -p. (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 ，其中¶D1 是 D1 的正向邊界. （1）由二重積分的幾何意義知： I (D) = òò(4 - x 2 - y 2 )ds，當(dāng)且僅當(dāng)4 - x2 - y2 在 D 上 D 2p 2 2 大于 0 時(shí)， I (D) 達(dá)到最大，故 D ：x2 + y2 £ 4 且 I (D )= dq (4 - r )rdr = 8p . 1 1 ò0 ò0 (2)補(bǔ) D2 : x + 4 y = r （ r 很?。?，取 D 的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向， 2 2 2 2 ò ¶D1 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy = x2 + 4 y2 = ò ¶D1 +¶D2 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 - ò ¶D2 (xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2 = - 1 er 2 r 2 ò ¶D2 xdx + 4ydy - 1 er 2 r 2 ò ¶D2 ydx - xdy = 1 -2d s= -p. r òò 2 D2 (21)(本題滿分 12 分) æ a 已知 A = ç 1 1 -1ö a -1÷ . ç ÷ ç -1 -1 a ÷ è ø (1) 求正交矩陣 P ,使得 PT AP 為對(duì)角矩陣； (2) 求正定矩陣C ,使得C 2 = (a + 3)E - A. - - æ 1 1 1 ö 3 2 ç 6 ÷ æ 5 ö -1 - ç 3 1÷ ç ÷ ç ÷ (1) P = ç 1 1 1 ÷ ；(2) C = ç -1 5 1 ÷ . 3 2 6 ç ÷ ç 3 3 ÷ ç ÷ ç - 1 0 2 ÷ ç ç -1 1 5 ÷ ÷ 3 6 ç ÷ è ø è 3 3 ø l- a -1 1 (1)由 lE - A = -1 l- a 1 = (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 0 1 1 得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1 當(dāng)l1 = a + 2 時(shí) l- a æ 2 -1 1 ö æ 1 0 1 ö æ 1 ö ((a + 2)E - A) = ç-1 2 1 ÷rrç0 1 1 ÷ 的特征向量為a = ç 1 ÷ ， ç ÷ ç ÷ è ø è ø ç 1 1 2 ÷ ç 0 0 0 ÷ 當(dāng)l2 = l3 = a -1所 1 ç ÷ -1 ç ÷ è ø æ -1 -1 1 ö æ 1 1 -1ö æ -1ö æ -1ö ((a -1)E - A) = ç-1 -1 1 ÷rrç0 0 0 ÷ 的特征向量為a = ç 1 ÷ ,a = ç 1 ÷ ， ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ 3 ç ÷ ç 1 1 -1÷ ç 0 0 0 ÷ ç 0 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø è ø è ø 3 2 6 æ 1 - 1 - 1 ö æ a a a ö ç ÷ ç ÷ 1 1 1 æ a + 2 ö 令 P = ç 1 , 2 , 3 ÷ = ç ÷ ，則 PT AP = L = ç a - 1 ÷ ， 3 2 6 ç a a a ÷ ç ÷ ç ÷ è 1 2 3 ø ç ÷ ç a -1÷ ç - 1 0 2 ÷ è ø 3 6 ç ÷ è ø æ 1 ö (2) PT C 2 P = PT (a + 3)E - A)P = ((a + 3)E - L = ç 4 ÷ ç ÷ ç 4÷ è ø æ 1 ö æ 1 ö ç ç ç è 4 ÷ Þ P 4÷ T CP = ç 2 ÷ ç ÷ ç 2÷ è ø æ 5 -1 - ö Þ PT CPPT CP = ÷ ， ø ç 3 1÷ æ 1 ö ç ÷ 故C = P ç 2 ÷ PT = ç-1 5 1 ÷ . ç ÷ ç 3 3 ÷ ç 2÷ ç ÷ è ø (22)(本題滿分 12 分) ç -1 è 1 5 ø 3 3 ÷ 在區(qū)間(0, 2) 上隨機(jī)取一點(diǎn)，將該區(qū)間分成兩段，較短的一段長(zhǎng)度記為 X ,較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)度記為 Y , 令 Z = Y . X (1) 求 X 的概率密度； (2) 求 Z 的概率密度. ç Y ÷ (3) 求 E æ X ö . è ø ì1, 0 < x < 1 ì 2 , z ³ 1 (1) X : f (x) = í î 0, 其他 ；(2) fZ (z) = (FZ (z）¢ = ï(z +1)2 .(3) -1+ 2 ln 2 . í ì1, 0 < x < 1 îï 0, 其他 (1)由題知： X : f (x) = í î ； 0, 其他 2 - X (2) 由Y = 2 - X ，即 Z = ，先求 Z 的分布函數(shù)： X F (z) = P {Z £ z} = P ì 2 - X £ z ü = P ì 2 -1 £ z ü Z í X ý í X ý î þ î þ 當(dāng) z < 1 時(shí)， FZ (z) = 0 ； 當(dāng) z ³ 1 時(shí)， ì 2 ü ì 2 ü 2 2 FZ (z) = P í -1 £ z ý = 1 - P íX £ ý = 1 - ò z +11dx =1 - ； î X þ î ì 2 , z ³ 1 z +1þ?0 z +1 í ï 2 fZ (z) = (FZ (z）¢ = (z +1) ； îï 0, 其他 (3) E æ X ö = E æ X ö = 1 x × 1dx = -1+ 2 ln 2 . Y 2 - X ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò0 2 - x