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1、第八章無窮級(jí)數(shù)第八章無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 結(jié)束結(jié)束常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一.無窮級(jí)數(shù)的概念二.級(jí)數(shù)收斂的必要條件三.無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 一.無窮級(jí)數(shù)的概念1.無窮級(jí)數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列 un:u1,u2,un,為一個(gè)無窮級(jí)數(shù),簡稱為級(jí)數(shù).稱 un 為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).則稱表達(dá)式下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例1下列各式均為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例22.級(jí)數(shù)的斂散性定義無窮級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)之和：稱為級(jí)數(shù)的部分和.若存在,則稱級(jí)數(shù)收斂.S 稱為級(jí)數(shù)的和：若不存在(包括為),發(fā)散.則稱級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.等比級(jí)數(shù)的部分和為：當(dāng)公比
2、|r|1 時(shí),當(dāng)公比 r=1時(shí),Sn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù)當(dāng)公比當(dāng)公比|r|1 時(shí)時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂；等比級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)公比 r=1時(shí),當(dāng)公比當(dāng)公比|r|1 時(shí)時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散等比級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述,討論級(jí)數(shù)的斂散性.解解例4而故即該級(jí)數(shù)收斂,其和為二.級(jí)數(shù)收斂的必要條件若級(jí)數(shù)收斂,則必有定理證證設(shè)由于故該級(jí)數(shù)發(fā)散.解解例5證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和有：證證例6由數(shù)學(xué)歸納法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.三.無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 若 c 0 為常數(shù),則與1.性質(zhì)性質(zhì) 1有相同的斂散性,且 證證的部分和為的部分和為故同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散,即與且有2.性質(zhì)性質(zhì) 2證證的
3、部分和為：故即 級(jí)數(shù)收斂,且 因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)例7問 題 一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的問 題 兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定 但對(duì)收斂級(jí)數(shù)來說,它的和將改變.在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后,所得到的新的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同.3.性質(zhì)性質(zhì) 3證證設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為 Sn,去掉級(jí)數(shù)的前面 m 項(xiàng)后得到的級(jí)數(shù)的部分和為由于 Sm 當(dāng) m 固定時(shí)為一常數(shù),所以故 級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)仍然收斂,且其和不變.對(duì)收斂的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得到的新 在級(jí)數(shù)運(yùn)算中,不能隨意加上或去掉括 號(hào),因?yàn)檫@樣做可能改變級(jí)數(shù)的斂散性.4.性質(zhì)性質(zhì) 4問 題 收斂的級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂嗎？不一定問 題 發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)是否仍發(fā)散？不一定問 題 如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)仍發(fā)散,原級(jí)數(shù)是否也發(fā)散？原級(jí)數(shù)也發(fā)散加括號(hào)可引起收斂,去括號(hào)可引起發(fā)散.
高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)
