高等數(shù)學無窮級數(shù)

第八章無窮級數(shù)第八章無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)函數(shù)項級數(shù) 結束結束常數(shù)項級數(shù)斂散性判別法函數(shù)展開為冪級數(shù)函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一.無窮級數(shù)的概念二.級數(shù)收斂的必要條件三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 一.無窮級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)的定義設有數(shù)列 un:u1,u2,un,為一個無窮級數(shù),簡稱為級數(shù).稱 un 為級數(shù)的一般項或通項.則稱表達式下列各式均為常數(shù)項級數(shù)例1下列各式均為函數(shù)項級數(shù)例22.級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)的前 n 項之和：稱為級數(shù)的部分和.若存在,則稱級數(shù)收斂.S 稱為級數(shù)的和：若不存在(包括為),發(fā)散.則稱級數(shù)討論等比級數(shù)的斂散性.等比級數(shù)的部分和為：當公比|r|1 時,當公比 r=1時,Sn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù)當公比當公比|r|1 時時,等比級數(shù)收斂；等比級數(shù)收斂；當公比 r=1時,當公比當公比|r|1 時時,等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散.綜上所述,討論級數(shù)的斂散性.解解例4而故即該級數(shù)收斂,其和為二.級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂,則必有定理證證設由于故該級數(shù)發(fā)散.解解例5證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的:調(diào)和級數(shù)的部分和有：證證例6由數(shù)學歸納法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 若 c 0 為常數(shù),則與1.性質(zhì)性質(zhì) 1有相同的斂散性,且 證證的部分和為的部分和為故同時收斂或同時發(fā)散,即與且有2.性質(zhì)性質(zhì) 2證證的部分和為：故即 級數(shù)收斂,且 因為等比級數(shù)所以級數(shù)例7問 題 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的問 題 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定 但對收斂級數(shù)來說,它的和將改變.在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后,所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.3.性質(zhì)性質(zhì) 3證證設級數(shù)的部分和為 Sn,去掉級數(shù)的前面 m 項后得到的級數(shù)的部分和為由于 Sm 當 m 固定時為一常數(shù),所以故 級數(shù)與級數(shù)級數(shù)仍然收斂,且其和不變.對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運算中,不能隨意加上或去掉括 號,因為這樣做可能改變級數(shù)的斂散性.4.性質(zhì)性質(zhì) 4問 題 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？不一定問 題 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？不一定問 題 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散,原級數(shù)是否也發(fā)散？原級數(shù)也發(fā)散加括號可引起收斂,去括號可引起發(fā)散.